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1、第六章第六章无穷级数无穷级数11 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散2性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收
2、敛级数的基本性质3定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法充分必要条件充分必要条件:(1) (1) 比较审敛法比较审敛法5比较审敛法的极限形式：比较审敛法的极限形式：, ,设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果, ,当当时时; ;则则(1) (1) 两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 (3) (3) 当当时时, , 若若 = =1nnv发散发散, ,则则 = =1nnu发散发散; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, ,则则收敛收敛; ;6以下两个以下两个级级数是常用的比数是常用的比较对较对象：象： 78定义定义 正正 、负项相
3、间的级数称为、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法9定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法105 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域否否则则称称为为发散点发散点. .11(3) (3) 和函数和函数所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .12(1) (1) 定义定义5 5、幂级数、幂级数13(3) (3) 收敛半径收敛半径 14(4) (4) 和函数的分析运算性质：和函
4、数的分析运算性质：且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . 15且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . 166 6、幂级数展开式、幂级数展开式(1) 定义定义17(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性18(3) 展开方法展开方法a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量变量代换代换, , 四则运算四则运算, , 恒等变形恒等变形, , 逐项求导逐项求导, , 逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.19(4) 常见函数展开式常见函数展开式20( ( 不为正整数不为正整数) )21典型例
5、题典型例题题型题型1 1：判定数项级数的敛散性：判定数项级数的敛散性 例例1 1判别下列级数的收敛性：判别下列级数的收敛性：解解所以原级数发散所以原级数发散22解解例例2 2用比用比值审敛值审敛法法, , 所以级数收敛。所以级数收敛。23解解例例3 3【答案】【答案】 应应选选( (D).). 24解解例例3 3【评注】【评注】 25解解例例4 4从而原从而原级级数数绝对绝对收收敛敛. . 由基本不等式可知，由基本不等式可知， 【答案】【答案】 应应选选( (B).). 26解解例例5 5(96,3(96,3分分) ) 下列各下列各选项选项正确的是（正确的是（ ）. . 由正由正项级项级数的比
6、数的比较较判判别别法可得法可得结论结论. . 【答案】【答案】 应应选选( (A).). 27解解例例6 6【答案】【答案】 应应选选( (C).).28解解例例7 7【答案】【答案】 应应选选( (D).).29解解例例7 730解解例例8 8所以原所以原级级数也数也发发散散. . 31例例9 9【答案】【答案】 应应选选( (B B).). 32例例9 9【评注】【评注】 应应了解以下了解以下结论结论： 33解解例例1010收敛级数加括号仍收敛，故收敛级数加括号仍收敛，故( (D) )正确正确. . 由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性
7、，可判定可判定( (C)C)选项是错误的选项是错误的. . 34解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛一方面一方面,是条件收敛还是绝对收敛？是条件收敛还是绝对收敛？例例111135由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知,另一方面另一方面,故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛36解解例例121237由正由正项级项级数的比数的比较较判判别别法知法知, ,原原级级数收数收敛敛. . 本本题这题这种放大通种放大通项项的的办办法法, ,有一定的有一定的难难度度. . 例例121238题型题型2 2：求幂级数的收敛域：求幂级数的收敛域 例例1 1解解【评评注】注】 也可以也可以这样这样求解：求解： 39解解例
8、例2 2【答案】【答案】 应应选选( (A)A). . 40解解例例3 341解解例例4 4收收敛敛半径半径 4243题型题型3 3：求幂级数的和函数：求幂级数的和函数 例例1 1解解由一由一阶线阶线性方程的通解得性方程的通解得 44于是于是45例例2 2解解逐逐项项求求导导得得 464748例例3 3解解两两边边0 0到到x积积分，得分，得 导导数左正右数左正右负负， 49例例4 4解解50所以所以51例例5 5解解525354答案答案: :类题类题05(16)1205(16)1255题型题型4 4：求数项级数的和：求数项级数的和 例例1 1解解56解解例例2 2(93(93五五7)7)57
9、例例3 3解解58xyo59例例4 4解解所以所以考考虑幂级虑幂级数数 所以所以60解解例例5 5(1)(1)所以所以级级数收数收敛敛； (2)(2)用比值判别法，用比值判别法，61(2)(2)和函数和函数 62所以所以于是于是63题型题型5 5：将函数展开成幂级数：将函数展开成幂级数 例例1 1解解64例例2 2解解65解解例例3 3 试试将函数将函数 展开成展开成x的的幂级幂级数数, ,并指出其收并指出其收敛敛域域. (94. (94三三5)5) 所以所以66答案答案: :类题类题(03(03四四12)12)67题型题型6 6：其它：其它 例例1 1证证分析：利用收分析：利用收敛级敛级数的必要性来数的必要性来证证. . 68证证例例2 2(97(97六六8)8)又又69对题设对题设等式两等式两边边取极限取极限, ,得得 70END71
