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1、第二章力系的基本運算第二章力系的基本運算內容大綱內容大綱2.1概論概論2.2向量類別向量類別2.3力力2.4共點力系共點力系2.5力對點的力矩力對點的力矩2.6力對軸的力矩力對軸的力矩2.7力偶力偶概論概論概述概述l由於力為由於力為向量向量，故力的運算必須以向量的方式處理。，故力的運算必須以向量的方式處理。l本章將先介紹向量類別，再介紹力矩及力系合力的觀念。本章將先介紹向量類別，再介紹力矩及力系合力的觀念。l本本章章將將利利用用力力的的分分解解與與笛笛卡卡爾爾向向量量式式的的方方法法來來解解決決有有關關質質點點平平衡衡(equilibriumofaparticle)的的問問題題。由由簡簡入入繁
2、繁，首首先先探探討討共共點點共共面面力力系系的的平平衡衡問問題題，再再討討論論三三維維共共點點力力系系的的平平衡問題。衡問題。力力(force)l力是物體間的交互作用力是物體間的交互作用會造成物體的變形會造成物體的變形對物體的運動造成影響對物體的運動造成影響l力之種類力之種類接觸力接觸力分佈力分佈力l力之三要素力之三要素大小大小方向方向作用點作用點ExampleFigure (a) shows the man pulls the cord with a force of 350 N. Represent this force, that acts on point A as a Cartesi
3、an vector and determine its direction.(a)(b)ANSWERFigure(b)showstheforceF.Thedirectionofthisvector,uisdeterminedfromthepositionvector,rwhichextendsfromAtoB.ThecoordinatesofA(0,0,7.5m)andB(3m,-2m,1.5m)areshowninFigure(a).Thepositionvectorcanbeformedbysubtractingthecorrespondingx,yandzcoordinatesofAfr
4、omthoseofB.靜平衡靜平衡l若若一一質質點點保保持持靜靜止止不不動動，或或維維持持等等速速直直線線運運動動，則則此此質質點點處處於於平平衡衡狀狀態態。通通常常物物體體保保持持靜靜止止不不動動時時，我我們們稱稱之之為為靜靜平平衡衡。若若欲欲維維持持平平衡衡狀狀態態，則則必必須須符符合合牛牛頓頓第第一一運運動動定定律律，即作用於質點上的合力為零，此條件可以用數學式表示為即作用於質點上的合力為零，此條件可以用數學式表示為 F=0其中其中 F為作用在質點上所有力量的向量和為作用在質點上所有力量的向量和式式 F=0不不僅僅是是平平衡衡的的必必要要條條件件，也也是是平平衡衡的的充充份份條條件件，這
5、這可可從從牛頓的第二運動定律牛頓的第二運動定律F=ma得知。得知。若若力力系系滿滿足足式式 F=0，則則可可得得ma=0，此此質質點點的的加加速速度度a=0，所所以質點會維持等速運動或靜止不動。以質點會維持等速運動或靜止不動。共點力系共點力系共點力系共點力系l質點平衡必須滿足質點平衡必須滿足 F=0l若若將將質質點點上上的的作作用用力力都都分分解解成成i、j、k方方向向上上的的分分量量如如上上圖，則上式可寫成圖，則上式可寫成 Fxi+ Fyj+ Fzk=0l若滿足式若滿足式 F=0時，則也必須滿足下列三個純量方程式時，則也必須滿足下列三個純量方程式 Fx=0 Fy=0 Fz=0力對點的力矩力對
6、點的力矩定義定義l若若F與與O點點位位於於一一陰陰影影面面，如如下下圖圖(a)，則則繞繞O點點或或通通過過O點點且且與與平平面面垂垂直直的的軸軸，其其力力矩矩MO本本質質上上為為一一向向量量，因因其其具具有大小與方向。有大小與方向。力矩大小：力矩大小：力矩力矩MO的大小可表示成的大小可表示成MO=Fd其其中中d為為力力臂臂，或或力力的的作作用用線線與與支支點點O間間的的垂垂直直距距離離，而而力力矩矩的的單單位位為力與距離之積，即為力與距離之積，即N m或或lb ft。力力矩矩方方向向：MO的的方方向向依依右右手手定定則則而而定定，將將右右手手指指依依力力將將造造成成之之旋旋轉轉方方向向彎彎曲曲
7、，如如上上圖圖(a)，則則右右手手大大姆姆指指的的指指向向即即為為力力矩矩的的作作用用線線之之指指向向，且且與與F及及d所所在在平平面面垂垂直直。力力矩矩MO可可視視為為滑滑動動向向量量，可可在在其作用線上任意移動。其作用線上任意移動。(a)(b)l三三維維空空間間中中MO將將以以一一曲曲線線附附一一箭箭頭頭表表示示，以以便便與與施施力力向向量區分，如圖量區分，如圖(a)。l力力學學中中許許多多問問題題皆皆為為共共面面力力系系，故故可可視視為為二二維維平平面面問問題題。將圖將圖(a)以平面視之可得圖以平面視之可得圖(b)。此此處處將將力力矩矩MO以以逆逆時時針針旋旋轉轉的的曲曲線線表表示示，代
8、代表表F的的作作用用，箭箭頭頭指指出出旋旋轉轉的的方方向向。應應用用右右手手定定則則，彎彎曲曲右右手手手手指指，則則姆姆指指將將指指向向紙紙外外。值值得得留留意意，此此彎彎曲曲或或旋旋轉轉方方向向通通常常可可藉藉力力繞繞O點點之之軌軌道道表表示，如圖示，如圖(b)所示。所示。l二二維維問問題題中中經經常常須須求求取取力力對對一一點點的的力力矩矩。力力對對軸軸所所產產生生的的力力矩矩必必與與F及及d所所在在平平面面垂垂直直，且且與與此此平平面面交交於於O點點，如圖如圖(a)。(a)(b)共平面力系之力矩合成共平面力系之力矩合成l若若有有一一系系統統數數力力在在 x-y平平面面上上，則則各各施施力
9、力對對 O點點所所產產生生之之力力矩矩，其其方方向向恆恆指指向向 z 軸軸，如如下下圖圖。由由於於各各個個力力矩矩向向量量皆皆共共線線，則系統之力矩總合可簡單的利用純量加法來運算，即則系統之力矩總合可簡單的利用純量加法來運算，即 MRO= Fd上式左側逆時針曲線代表正負之規定，當力矩的方向指向上式左側逆時針曲線代表正負之規定，當力矩的方向指向正正 z軸，其值為正；反之，當力矩指向負軸，其值為正；反之，當力矩指向負z軸，其值為負。軸，其值為負。向量法向量法l力力F對對O點點的的力力矩矩，或或對對穿穿越越O點點的的一一軸軸且且垂垂直直於於O及及F所在平面的力矩，如下圖所在平面的力矩，如下圖(a)，
10、可用向量的向量積表示，可用向量的向量積表示MO=r F上上式式r表表示示由由O 點點至至F作作用用線線上上的的任任一一點點 A 的的位位置置向向量。量。(a)(b)力矩大小力矩大小l由由r F的的定定義義知知其其之之夾夾角角取取決決於於r與與F尾尾端端交交角角，故故r可可視視為為一一滑滑動動向向量量，即即 可可以以正正確確的的決決定定，如如圖圖(b)。其其力力臂臂d=rsin ，故由式，故由式C=A B=(AB sin )uC MO=rFsin =F(rsin )=Fd與式與式MO=Fd相同。相同。(a)(b)力矩方向力矩方向l力力矩矩的的方方向向可可利利用用向向量量積積的的右右手手定定則則決
11、決定定。將將位位置置向向量量平平移移至至虛虛線線位位置置，彎彎曲曲右右手手手手指指，由由r旋旋向向F，右右手手姆姆指指的的指指向向即即MO 的的方方向向，如如圖圖(b)，手手指指彎彎曲曲的的方方向向即即表表示示力力對對物物體體造造成成的的旋旋轉轉方方向向。由由於於向向量量的的向向量量積積不不具具有有交交換換律律，故式故式MO=r F中中r與與F的順序不可更換。的順序不可更換。(a)(b)ExampleFor each case illustrated in Figure (a) to Figure (e),determinethemomentoftheforceaboutpointO.(a)(
12、b)(c)(e)(d)4ExamplelA200NforceactsonthebracketasshowninFigure(a).DeterminethemomentoftheforceaboutpointA.(a)(b)AnswerI:lThe moment arm d can be found by using the trigonometry as shown in Figure (b). From the right triangle BCD, we can see thatlCD = d = 100 cos 45 = 70.71 mm = 0.07071mlTherefore,lMA
13、 = Fd = 200N (0.07071 m) = 14.1 N.m lBy applying the right hand rule, MA is directed in the +k direction since the force tends to rotate counter-clockwise about point A. Hence, representing the moments in Cartesian vector form, we havelMA = 14.1 k N.m(c)AnswerII:lAccording to Varigons theorem, the 2
14、00N force can be resolved into its x and y components as shown in Figure (c).lIn accordance with this theory, the moments of F computed about point A is equal to the sum of moments produced by the two force components. By assuming that the counter-clockwise rotation as positive, i.e in the +k direct
15、ion, we can apply equationl MA = Fd and we will getl + MA = ( 200 sin 45N )( 0.20 m ) ( 200 cos 45N )( 0.10 m )l= 14.1 N.m lTherefore,lMA = 14.1 k N.m力的可傳遞性力的可傳遞性l考考慮慮如如圖圖所所示示，A點點作作用用力力F對對O點之力矩為點之力矩為MO=rA Fl然然而而，位位置置向向量量r可可由由O點點指指向向F力力作作用用線線上上任任意意點點。因因此此，F力力可可作作用用在在B或或C點點且且對對O點點可可有有相相同同力力矩，即矩，即MO=rB
16、 F=rC Fl故故F可可視視為為一一滑滑動動向向量量，且且可可作作用用在在其其作作用用線線上上任任何何點點而而對對O點點均均有有相相同同力力矩矩，此此即即為為 F 力力之之可可傳傳遞遞性性(transmissibility)。直角分量法直角分量法l若將若將r及及F表示成直角分量，如下圖，則從式表示成直角分量，如下圖，則從式MO=r F可得可得其中其中rx、ry、rz為由為由O 至力量作用線上任一點的位置至力量作用線上任一點的位置向量在向量在x、y、z 的分量；的分量；Fx、Fy、Fz為力量在為力量在x、y、z方向的直角分量。方向的直角分量。l由由圖圖(a)可可得得上上式式三三個個分分量量的的物物理理意意義義。如如MO的的i分分量量由由Fz及及Fy對對x軸軸的的力力矩矩，力力作作用用於於D、E點點上上，故故對對A點點得得ryFz，且且由由右右手手定定則則知知其其為為i的的正正向向，同同理理Fy產產生生rzFy( i)，而，而Fx並不會對並不會對x軸產生力矩，因其與軸產生力矩，因其與x軸平行軸平行。(a)(b)力系統的力矩合成力系統的力矩合成l一一系系統統的的數數力力對對 O 點點的的力
