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1、一、相关概念1. 导数的概念：f （ x 0 ） = limy= limf x0xf x0 ；留意：x0xx0x（ 1）函数 f （ x）在点x0 处可导,是指x0 时,y 有极限；假如xy 不存在极限,x就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数；（ 2） x 是自变量x 在 x 0 处的转变量,2. 导数的几何意义x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零；/函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（x 0 , f （ x 0 ）处的切 线的斜率；也就是说,曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0
2、 ）；相应地,切线方程为y y 0 =f （ x 0 ）（ x x 0 ）；3. 导数的物理意义如物体运动的规律是s=s （ t ）,那么该物体在时刻t 的瞬时速度 v= s （ t ）；如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （ t ）,就该物体在时刻t 的加速度 a=v（ t ）；二、导数的运算1. 基本函数的导数公式: C0; （ C 为常数） xnnxn 1; sin xcos x; cos xsin x; ex ax ex;ax ln a ;1 ln x l oga x;x1log a e.x2. 导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和
3、或差 ,即： uv uv .法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即：uv u vuv.法就 3 ：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,u再除以分母的平方：vu vv2uv（ v0）；3. 复合函数的导数形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 求导 回代；法就： y | X = y | Uu | X 或者f xf * x .三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1） 设函数 yf x 在某个区间（ a, b）可导, 假如f x0 ,就f x 在此区间上为增函数；假如f
4、x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） 假如在某区间内恒有2. 极点与极值：f x0 ,就f x 为常数 ；曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；3. 最值：在区间 a ,b 上连续的函数 f x 在a , b 上必有最大值与最小值；但在开区间（a, b）内连续函数 f （ x）不肯定有最大值,例如f xx3, x 1,1 ；（1） 函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必需是整个区间上全部函数值中的最大值,最小值必需在整个区间上全部函数值中的最小值；（2） 函数的最大值、最小值是
5、比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的；函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值；四、定积分1. 概念设函数 fx在区间 a ,b 上连续,用分点a x0x1 xi 1xi xn b 把区间 a , b等分成 n 个小区间,在每个小区间xi 1, xi上取任一点 i （ i 1, 2, n）作和式Innf i1 i x（其中 x 为小区间长度） ,把 n即 x0 时,和式 In 的极限叫做函数 fx在区间 a , b 上的定积分
6、,记作：bf x dxa,即bf xdxalimnnfi 1 i x；这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a , b 叫做积分区间,函数fx叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx叫做被积式；1m 11基本的积分公式：0dxxm dxx C； m1 C（ m Q, m 1）；x dx lnxaxxx C；e dx ex C；a dxln a C；cos xdx sinx C；sinxdx cosx C（表中 C 均为常数）；2. 定积分的性质bkf x dx abkf x dxa（ k 为常数）；bf x agxdxbf x dxabg xdxa；bf xdx acf x
7、dxabf xdxc（其中 a cb；3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线x a, x b（ab）, x 轴及一条曲线 y f （x） fx 0 围成的曲边梯的面积bSf xdxa；假如图形由曲线y1 f1x, y2 f2x（不妨设 f1x f2x0）,及直线 x a,x b（ ab ） 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 S S 曲 边 梯 形 AMNB S 曲 边 梯 形 DMNCb1f xdxab2f xdxa；4. 牛顿布莱尼茨公式假如 fx是区间 a,b上的连续函数 ,并且 F x=fx,就bf x dxF b aF a 【练习题】题型 1：导数的基本运算【例 1】 （
8、1）求 yx x21x1 的导数；x3（2） 求 yx1x11 的导数；xx（3） 求 yxsinx2cos22的导数；（4）求 y=sin x2的导数；（5）求 y 3xxx5xx9 的导数；解析：（ 1）yx311 ,y x 23x 22 .x311（2） 先化简 , yx1x13x11 xx 2x 2y 1 x 221 x 22111 .2 xx（3） 先使用三角公式进行化简.yxsinx cos xx1 sin x222yx1 sin x2x1 sin x211 cosx. 2（4） y = x2 sin xx 2 *sin 2 xsinx=2 x sinx x2 sin 2 xcos
9、 x ；31（5）y 3 x 2 x 9x 2133131y * （ x 2 ） x x 2） *2x 2 * （） x 2 29x 121 1 ；x2题型 2：导数的几何意义【例 2】 已经曲线 C： y=x 3 x+2 和点 A1,2 ；（1）求在点 A 处的切线方程？（ 2）求过点A 的切线方程？（ 3） 如曲线上一点 Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1,就 Q点坐标为 ,切线方程为 摸索：导数不存在时,切线方程为什么？【例 3】 （ 06 安徽卷）如曲线y x4 的一条切线l 与直线 x4 y80 垂直,就l 的方程为（）A 4 xy30B x4 y5 0C 4 xy30D x
10、4 y30【例 4】 （ 06 全国 II ）过点（ 1, 0）作抛物线yx2x1 的切线,就其中一条切线为（）4（A ） 2xy20（ B） 3xy30（C） xy10（D ） xy1034解析：（ 1）与直线 x4 y80 垂直的直线 l 为 4 xym0 ,即yx 在某一点的导数为 4,而 y000000选 A；4x ,所以yx 在1 ,1 处导数为 4,此点的切线为 4xy30 ,故（ 2） y2 x1 ,设切点坐标为 x , y ,就切线的斜率为2 x1 ,且 yx2x1 ,于是切线方程为2yx0x012 x01 xx0 ,由于点（ 1, 0）在切线上,可解得x0 0 或 4,代入可验正D 正确,选 D；题型 3：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 （ 06 江西卷）对于 R 上可导的任意函数f（ x ）,如满意（ x 1） f （ x） 0,就必有（）A f（ 0） f（ 2）2f （ 1）B. f （0） f（ 2） 2f （ 1）C f（ 0） f（ 2）2f （1）D. f （ 0） f（ 2） 2f （ 1）【例 6】 （ 06 天津卷）函数f x 的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a, b 内的图象如下列图,就函数f x 在开区间a, b 内有微小值点（）A 1 个B 2 个C 3 个D
