《2022年导数知识点归纳及其应用例题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数知识点归纳及其应用例题讲解（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数学问点归纳及其应用 学问点归纳一、相关概念1. 导数的概念函数 y=fx,假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ,那么函数 y 相应地有增量y =f （ x 0 +x ） f （ x0 ）, 比 值y 叫 做 函 数 y=f （ x ） 在 xx0 到 x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即y = f x0 xxf x0 x；假如当x0 时,y 有极限, 我们就说函数 y=fx在点 x0xx0处可导,并把这个极限叫做f （x）在点 x 0 处的导数,记作 f （ x 0 ）或 y|x；即 f （ x） = limy = limf x0xf x0 ；0说明：x0xx0x（ 1）
2、 函数 f （ x）在点 x0 处可导,是指x0 时,y 有极限；假如xy 不存在极限,x就说函数在点 x 0 处不行导,或说无导数；（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤： 求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （ x 0 ）； 求平均变化率y = f xx0xfxx0 ； 取极限,得导数 f x0 =limy ；x0x例： 设 fx= x|x|,就 f 0=. 解析 ：limf 0xf 0limf x|limx |xlim |x |0 f 0=0x0xx0
3、xx0xx02. 导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；相应地,切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ）（ xx 0 ）；例： 在函数 yx38 x的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数4是A 3B 2C 1D0 解析 ： 切线的斜率为 ky /3x 28又切线的倾斜角小于,即 0k14故 03x 281解得：883x或x3 33故没有坐标为整数的点3. 导
4、数的物理意义（删去）假如物体运动的规律是s=s（ t）,那么该物体在时刻t 的瞬时速度 v= s （ t）；假如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t）,就该物体在时刻 t 的加速度 a=v（ t ）；例； 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,如把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是（）s sssOtOt OtOtA B CD 答： A；练习： 已知质点 M按规律 s2t 23 做直线运动（位移单位：cm,时间单位： s ）；（1） 当 t=2 , t（2） 当 t=2 , t0.01 时,求s ；t0.001时,求s ；t（3） 求质点 M
5、在 t=2 时的瞬时速度；答案：（ 1） 8.02二、导数的运算cm（ 2） 8.002scm；（ 3） 8 cm ss1. 基本函数的导数公式: C0; （ C为常数） xnnxn 1; sin xcosx ; cos xsin x ; ex ex ; a x ax ln a ; ln x l og1;xx1 loge .aax例 1：以下求导运算正确选项A x+ 1 11xx 2xxB log 2x =21x ln 2C 3 =3 log 3eD xcosx =-2xsinx 解析 ： A 错, x+ 1 11xx 21B正确, log 2x =xxC 错, 3 =3 ln32x ln 2
6、2D 错, xcosx =2xcosx+ x-sinx例 2：设 f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x ,f 2 x f 1 x , f n 1 x f n x ,n N, 就 f 2005 x A sinxB sinxC cos xD cosx 解析 ： f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x= cosx, f 2 x f 1 x= -sinx ,f 3 x f 2 x= - cosx, f 4 x f 3 x= sinx ,循环了就 f 2005 x f 1 x cosx2. 导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,即：
7、uv uv .法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即：uv u vuv .如 C 为常数 , 就 Cu C uCu 0Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：Cu Cu .法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uvu v2vuv （ v0）；例：设 fx、gx 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 当 x 0 时,f x g xf x gx0. 且 g3=0.就不等式 fxgx 0 的解集是 A -3,0 3,+ B -3,0 0, 3C
8、 - ,- 3 3,+ D - ,- 3 0, 3 解析 ： 当 x 0 时, f x g xf xg x 0 ,即 f x g x /0当 x 0 时, fxgx为增函数,又 gx 是偶函数且 g3=0 , g-3=0 , f-3g-3=0故当 x3 时, fxgx0,又 fxgx是奇函数,当 x0 时, fxgx为增函数,且 f3g3=0故当 0x3 时, fxgx 0应选 D3. 复合函数的导数形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 求导 回代；法就： y | X = y | U u| X 或者f xf *x .练习： 求以下各函数的导数：（ 1） yxx 5x 2s
9、in x ;（ 2） y x1 x2 x3;（ 3） ysin x 122cos2 x ;4（ 4） y11.1x1x12解： 1 yxx5sin x3x2x2x3sin x , x2 y3 x 2 x 32x 2 sin x53 x 22323x 22x 3 sin xx 2 cosx.2（ 2）y=（ x+3x+2）（ x+3） =x+6x+11x+6, y =3x+12x+11.（ 3） y=sin x2cos x21 sin x,2 y1 sin x 21 sin x21 cos x.2（4） y111x1x2,1x1x1x 1x1x y21x211xx) 22.1x2三、导数的应用1
10、. 函数的单调性与导数（1） 设函数 yf x 在某个区间（ a, b）可导, 假如f x0 ,就f x 在此区间上为增函数；假如f x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） 假如在某区间内恒有f x0 ,就f x 为常数 ；例： 函数f xx 33x21是减函数的区间为A 2,B ,2C ,0D（ 0,2） 解析 ： 由f / x3x 26 x 0,得 0x2函数f xx33 x21是减函数的区间为（ 0,2）2. 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例： 函数f xx3ax 23x9, 已知f x在x3 时取得极值,就 a = A 2B 3C 4D 5 解析 ： f / x3x 22ax3 ,又f x在x3 时取得极值
