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1、.平面向量知识点归纳一. 向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模长度向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行,所以在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有非零向量这个条件单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的向量,称为平行向量由于向量可以进行任意的平移,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合2向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,则+=1；2向量加法
2、满足交换律与结合律；向量加法有三角形法则与平行四边形法则：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2三角形法则的特点是首尾相接,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：,但这时必须首尾相连3向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量记作关于相反向量有： i=； +=+=；若、是互为相
3、反向量,则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差,记作：作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量、有共同起点4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：；当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反；当时,方向是任意的5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使：,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:1相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件2向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括
4、共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底平面内的任一向量可表示成,记作=相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2平面向量的坐标运算：(1) 若,则(2) 若,则(3) 若=,则=(4) 若,则(5) 若,则若,则3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同向;0时,与异向;=0时,=向量的数量积是一个数或时,=
5、0且时,三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=cos叫做与的数量积或内积 规定2向量的投影：cos=R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：1结合律不成立：；2消去律不成立不能得到3=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量,则=8向量的夹角：已知两个非零向量与,作=, =,则AOB=叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方
6、向时=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直,记作10两个非零向量垂直的充要条件：O典例精析题型一向量的有关概念例1 下列命题：向量的长度与的长度相等；向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量,其终点必相同；向量与向量是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.解析对；零向量与任一向量是平行向量,但零向量的方向任意,故错；显然错；与是共线向量,则A、B、C、D可在同一直线上,也可共面但不在同一直线上,故错.故是真命题的只有.点拨正确理解向量的有关概念是解决本题的关键,注意到特殊情况,否定某个命
7、题只要举出一个反例即可.变式训练1下列各式：|a|；ca ；在任意四边形ABCD中,M为AD的中点,N为BC的中点,则2；a,b,且a与b不共线,则.其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4解析选D.| a|正确；ca；正确；如下图所示,=+且=+,两式相加可得2,即命题正确；因为a,b不共线,且|a|b|1,所以ab,ab为菱形的两条对角线,即得.所以命题正确.题型二与向量线性运算有关的问题例2如图,ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,点M在线段DO上,且=,点N在线段OC上,且=,设=a,=b,试用a、b表示,.解析在ABCD中,AC,BD交于点O,所以,.又, ,所以bbab,.
8、所以ab.点拨向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示,即平面向量基本定理的应用,在运用向量解决问题时,经常需要进行这样的变形.变式训练2O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三点,平面内的动点P满足,若时,则的值为.解析由已知得,即,当时,得,所以2,即,所以,所以0,所以 00,故填0.题型三向量共线问题例3 设两个非零向量a与b不共线.若ab, 2a8b, 3,求证：A,B,D三点共线；试确定实数k,使kab和akb共线.解析证明：因为ab,2a8b,3,所以2a8b355,所以,共线.又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.因为kab和
9、akb共线,所以存在实数,使kab,所以ab.因为a与b是不共线的两个非零向量,所以kk10,所以k210,所以k1.点拨向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.变式训练3已知O是正三角形BAC内部一点,+2+3=0,则OAC的面积与OAB的面积之比是A.B.C.2D.解析如图,在三角形ABC中,230,整理可得20.令三角形ABC中AC边的中点为E,BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的
10、处,即OE2OF.设三角形ABC中AB边上的高为h,则SOACSOAESOECOE OEh,SOABABhABh,由于AB2EF,OEEF,所以AB3OE,所以.故选B.总结提高1.向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别,直线平行不包括共线的情形,而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行,实际上就是找出一个实数,使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时,|ab|a|b|；当向量a与b共线反向时,|ab|a|b|；当向量a与b不共线时,|ab|a|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用例1如图ABCD中,M,N分别是DC,BC中点.已知=
11、a,=b,试用a,b表示,与解析易知,即所以,.所以.点拨运用平面向量基本定理及线性运算,平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.变式训练1已知D为ABC的边BC上的中点,ABC所在平面内有一点P,满足0,则等于A.B.C.1D.2解析由于D为BC边上的中点,因此由向量加法的平行四边形法则,易知2,因此结合0即得2,因此易得P,A,D三点共线且D是PA的中点,所以1,即选C.题型二向量的坐标运算例2 已知a,b,ua2b,v2ab.若u3v,求x；若uv,求x.解析因为a,b,所以u2,v2.u3v3,所以2x163x,解得x1.uv30x1.点拨对用坐标表示的向量来说,向量相等即坐标相等,这一点在解题中很重要,应引起重视.变式训练2已知向量an,|b|1.则函数y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值为.解析设b,所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|22b222b222822cos,所以y的最大值为284.题型三平行向量的坐标运算例3已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m,n,p.若mn,求证：ABC为等腰三角形；若mp,边长c2,角C,求ABC的面积.解析证明：因为mn,所以asin Absin B.由正弦定理,得a2b2,即ab.所以ABC为等腰三角形.因为mp,所以mp
