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1、学案学案5 5 空间中的垂直关系空间中的垂直关系 名师伴你行名师伴你行考点考点1 1考点考点2 2填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破规规 律律 探探 究究考考 纲纲 解解 读读考考 向向 预预 测测考点考点3 3返回目录 名师伴你行 考考 纲纲 解解 读读 空间间中的垂直关系（1）了解空间间垂直的有关概念，认识认识和理解空间间中线线面垂直的有关性质质与判定定理并能用图图形语语言和符号语语言表述这这些定理.（2）能运用定理证证明一些空间间垂直的简单简单 命题题.名师伴你行考考 向向 预预 测测 1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力. 2.近
2、年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.返回目录 返回目录 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作 .直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. 根据定义，过一点 直线与已知平面垂直；过一点 与已知直线垂直.l 有且只有一条 有且只有一个平面 名师伴你行返回目录 2.判定定理和性质定理 （1）判定定理： ，则该直线与此平面垂
3、直. （2）性质定理： . 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 名师伴你行判定性质图形条件(b为a内的任一条直线)结论返回目录 名师伴你行 3.直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面相交， ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行,或在平面内，我们说它们所成的角是 的角. 4.二面角返回目录 但不和这个平面垂直 射影
4、所成的锐角 直角 0 名师伴你行 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 ，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 5.两个平面垂直的定义 一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.记作 . 6.两个平面垂直的判定与性质 （1）判定定理 ，则这两个平面垂直.返回目录 分别作垂直于棱的两条射线 直二面角 一个平面过另一个平面的垂线 名师伴你行（2）性质定理两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直.返回目录 垂直于交线的直线 名师伴你行判定性质图形条件直二面角结论返回目录 名师伴你行
5、返回目录 如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA面ABC,问:图中共有多少个Rt?【分析分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.考点考点1 1 线线垂直线线垂直 名师伴你行返回目录 【解析解析】PA面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB为圆O的直径,ACBC.又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面PAC.PC 平面PAC,BCPC.故图中有四个直角三角形:PAC,PBC,PAB,ABC.名师伴你行返回目录 线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.名师伴你行如图,已知矩形ABCD,过A作SA平
6、面AC,再过A作AESB交SB于E,过E作EFSC交SC于F.(1)求证:AFSC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AGSD.返回目录 名师伴你行证明证明: : (1)SA平面AC,BC 平面AC,SABC,四边形ABCD为矩形,ABBC,BC平面SAB,BCAE,又SBAE,AE平面SBC,AESC,又EFSC,SC平面AEF,AFSC.(2)SA平面AC,SADC,又ADDC,DC平面SAD,DCAG,又由(1)有SC平面AEF,AG 平面AEF,SCAG,AG平面SDC,AGSD.返回目录 名师伴你行返回目录 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1
7、）求证：MNCD；（2）若PDA= ，求证：MN 平面PCD.考点考点2 2 线面垂直线面垂直 【分析分析】（1）因M为AB中点，只要证ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MNAB. （2）已知MNCD，只需再证MNPC，易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC.名师伴你行返回目录 【证明证明】 (1)如图,连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN= PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB， PAAB=A,BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN= PC.AN=BN,ABN为等腰三角
8、形,又M为底边的中点,MNAB,又ABCD,MNCD.名师伴你行(2)连接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形,AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.返回目录 名师伴你行 垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.返回目录 名师伴你行返回目录 如图所示,RtABC的斜边为AB，过A作AP平面ABC，
9、AEPB于E，AFPC于F.求证：PB平面AEF.名师伴你行证明：证明：AP平面ABC APBCBCAC APCA=A AFPC AEPB BCAF AF面PBC AFPB BCPC=C AFAE=A返回目录 BC面APCAF 面APCPB面AEF.名师伴你行返回目录 2009年高考山东卷如图7-5-6，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，图ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1;（2）证明：平面D1AC平面BB1C1C.名师伴你行考点考点3 3 面面垂直面面垂直【证明
10、】（1）证法一：取A1B1的中点为F1.连结FF1,C1F1.由于FF1BB1CC1,所以F1平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D,F1C, 由于A1F1 D1C1 CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D,得EE1F1C.而EE1 平面FCC1，F1C 平面FCC1，故EE1平面FCC1.返回目录 【分析】证明线面平行，可转化为证线线平行或面面平行，故由条件寻求转化的关系；而证明面面垂直，一般用判定定理证明.名师伴你行证法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,ABCD,所以CD AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADF
11、C.又CC1DD1,FCCC1=C,FC 平面FCC1,CC1 平面 FCC1,ADDD1=D,AD 平面ADD1A1,DD1 平面ADD1A1,所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1 平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.故平面D1AC平面BB1C1C.返回目录 名师伴你行(2)连结AC，在FBC中，FC=BC=FB,又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.因此ACB=90,即ACBC.又ACCC1，且CC1BC=C,所以AC平面BB1C1C.而AC 平面D1AC,故平面D1AC平面BB1C1C.返回目录 名师伴你行返回目录 名师伴你行 证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线
12、，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.返回目录 如图,ABC为正三角形，EC平面ABC，BDEC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：（1）平面BDM平面ACE；（2）平面DEA平面ECA.名师伴你行返回目录 【证明证明】 (1)取CA中点N，连结MN,BN，在ACE中，M,N分别为AE,AC中点，MNEC，MN= EC.而BDEC，BD= EC,BD MN,B,D,M,N四点共面.EC平面ABC，BN 平面ABC，ECBN.又BNAC，BNEC，ACEC=C,BN面ECA.又BN 面BMD，平面BMD平面AC
13、E.名师伴你行返回目录 (2)DMBN，BN平面ACE,DM平面ACE.又DM 平面DEA，平面DEA平面ACE.名师伴你行返回目录 名师伴你行 （1 1）空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平）空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直面垂直、平面与平面垂直. .它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：直线与直直线与直 直线与平直线与平 平面与平平面与平线垂直线垂直 面垂直面垂直 面垂直面垂直 性质性质判定判定 性质性质判定判定 （2 2）当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面；在证面面垂直时，一）交线的垂线，则有线垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决助线解决. .返回目录 名师伴你行名师伴你行
