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1、n n 1 ( 1 )n一个数学问题的解决及其推广浙江省丽水市景宁中学（ 323500）陈孟兴一、问题的解决贵刊 2009 年第 11 期刊出数学问题 335，原题为：已知数列 an中， a1 1, a2 2, an n(an 1 an 2 )(n 3), 试求数列an的通项公式。现解答如下：解：当 n2 时，an 1 (n 1)(an an 1 ) (n 2)an an (n an 1 (n 2)an an (n 1)an 1反复应用（ 1）式可得，an 1 (n 2)an an (n 1)an 1( 1)2 (an 1 nan 2 )1)an 1(1)( 1)n 1 (a2 3a1)( 1
2、)n 1 (2 3 1)( 1) nan 1 (n 2)an ( 1) n （2）当 n=1 时， （2）式仍然成立。n（2）式两边同时除以 3 4 5 (n 2), 即除以 (k 2), 得 k 1an 1 an( k 2) ( k 2) k 1 k 2k 1 k 1an n 1 ( ) 1 (n 2)i 1 m 1 k 1 k 2n 1 n 1 m 1k 1 k 2 k 1 k 2 3n 1 n 2k 1 k 21( ) 1令 b1 a1 1, bn n 1 an (n 2)(k 2)k1n则 bn 1 bn ( )bn (bn bn 1 ) (bn 1 bn 2 ) (b2 b1 ) b
3、1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1) 1n 1 m 1m 1 k 1 k 2当 n2 时， an 3 4 5 (n 2)bn (i 2) ( ) 11(n 1) n 1 m 1综上， (i 2) m 1 k 1 k 2 i 1二、问题的推广我们把满足公式 an 2 p(n)an 1 q(n)an （3）的数列 an 称为二阶变系数线性递推数列。求由（ 3）式给出的递推数列的通项公式，一般采用拆项的思想方法，将 p(n),q(n) 分别拆成P(n)=f(n+1)+g(n) 和 q(n)=-f(n)g(n), 然后利用下面的结论来求（先转化为一阶线性递推数列） 。定理 : 已知 a1 , a2 ,
4、an 2 f (n 1) g(n) an 1 f (n)g(n)an , (4)且对任意 n N * , f ( n) 0, 则数列 an 的通项公式为：ana1 (n 1)n 1 n 1f (i )i 1 m 1m g(k 1) k 1 f (k)a1 , (n 2)（5）f (1) f (2) f (n) f (1) f (2) f (n 1) k 1 f ( k)，f (1) f ( 2) f (n 1)n g (k 1)k 1 f (k) k 1 f (k) f (1)1 .n 1 n 1 m g (k 1)i 1 m 1 k 1 f (k)a其中， g(0)=a 2-f(1)a 1证
5、明： （4）式变形，得an 2 f (n 1)an 1 g(n) an 1 f (n)an 。 （6）反复应用（ 6）式，得 n2 时：an 1 f (n)an g(n 1) an f (n 1)an 1g(n 1) g(n 2) an 1 f (n 2)an 2g(n 1) g(n 2) g(1) a2 f (1)a1n1g(k)k0n1所以 an 1 f (n)an g(k)。 (7)k0又因为 f(n) 0, (7) 式两边同除以 f (1) f (2) f (n) , 得an 1 an n g( k 1) （8）令 b1 a1 , bn an (n 2), 由（8）式得到bn 1 bn k 1 f (k) 。bn (bn bn 1 ) (bn 1 bn 2 ) (b2 b1 ) b1n 1 g(k 1) n 2 g(k 1) g(0) a1n 1 m g(k 1)m 1 k 1 f (k)所以当 n2 时，an f (1) f ( 2) f ( n 1)bnf (i) a1 。参考文献：1、 高中数学竞赛专题讲座（第二辑） 递推与递推方法 ，李世杰 主编；浙江大学出版社。笔者的联系方式：陈孟兴：浙江省丽水市景宁中学；手机号码： .Email:
