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1、1统计基础一、随机事件与概率（一）随机事件 有两种以上可能的结果，但在某一次观察中会出现哪一种结果具有不确定性的事件。 事件：A、B、C（二）概率：度量随机事件发生的可能性。2事件概率的计算1.古典概率 等可能性 P（A）=m/n2.统计概率 P（A）m/n3.主观概率3计数法则乘法原理： 如果一个事件的完成要经过K个步骤，每一步骤分别有n1，n2，nk种方法 则完成该事件共有n1n2nk种方法。加法原理： 如果一个事件的完成有K种方式，每种方式分别有n1，n2，nk种方法 则完成该事件共有n1+n2+nk种方法。4习 题计算抛3枚硬币时，如下结果发生的概率：（1）3枚中有1枚出现正面的概率；
2、（2）3枚中至少有1枚出现正面的概率；（3）3枚中第一枚和第二枚都出现正面的概率；（4）3枚都出现反面的概率。5 某游乐场设一摇奖装置，内装2个骰子，每个骰子均有6面，每面分别记上1，2，6分。（1）若中奖的规则是：摇出的2个骰子分数之和等于或超过10分，问中奖的机会是多大？（2）若中奖的规则改为：摇出的2个骰子的分数必须相等，问中奖的机会多大？6 有三扇关着的门，其中一扇门后面放着一辆车。主持人知道车在哪里。假定主持人请你猜哪扇门后面有车。当你选定后，主持人打开另外两扇门当中的一扇空门。然后，问你是否愿意改变你的选择？7随机变量及分布离散型随机变量的概率分布（一）概率分布分布列例：打靶规定打
3、中域得3分，打中域得2分，打中域得1分，域外得0分。一射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中域。该射手射击得分的概率分布为：0.55 20.10 10.05 00.30P（X） 3 X8（二）离散型随机变量的数学期望值和方差1.期望值(Expected value) X 0 1 2 3 P(X) 0.05 0.10 0.55 0.30该射手得分的数学期望值是:E(X)=00.05+10.10+20.55+30.30=2.10分2.方差9连续型随机变量的概率分布 X、P（x）10连续型随机变量的特征值11数学期望值和方差的数学性质12某地电信局每月固定收取每部电话16元，市内
4、电话每分钟收费0.1元。已知某集团用户电话每月使用时间的标准差为80分钟，试计算该集团用户每月话费的标准差。13正态分布 Normal Distribution1.钟型，对称2.随机变量值域无限。均值 Meanxf(x) 了解正态分布的特征 掌握与正态分布有关 的概率计算14正态分布概率密度函数f(x)：随机变量 x 的概率密度函数x ： 随机变量的值(- X )p = 3.14159; e = 2.71828m：总体的均值：总体的标准差15参数变化 ( 和 ) 对分布图形的影响Xf(X)CAB16正态分布概率连续概率分布是对密度函数曲线以下面积的积分!cdXf(X)P cXdf X dxcd
5、()()?17Z = 0z = 1Z正态分布的标准化正态分布标准正态分布X18 计 算(1)P(z1.5)(3)P(z-1)(5)P(-2.33z2.33)19例 题某地区家庭人均月收入是服从=1000元,=200的正态分布随机变量。求该地区人均月收入：（1）超过1200元的概率；（2）低于700元的概率；（3）在900 1100元之间的概率。20例：某年A省理科考生的高考成绩服从平均分=500分，标准差=100分的正态分布，求：（1）考生的考分低于500分的概率；（2）设考生的考分为X，问X为何值才能使75%的 考生的考分低于这一值？（3）问X为何值才能使90%的考生的考分高于这 一值？21
6、用标准差判断概率在均值1个标准差(1x)之间取值的概率为68.27%在均值2个标准差(2x)之间取值的概率为95.45% 在均值3个标准差(3x)之间取值的概率为99.73% 22一、总体和样本q总体（Population）：所要研究对象的全体。q样本（Sampling）：为推断总体的某些特征，从总体中抽取的若干个体（Item unit ）。 抽样估计的基本概念二、参数和统计量q 参数 总体q 统计量 样本23关 键 术 语参数(Parameter)样本统计量(Sampling Statistic)抽样分布(Sampling distribution)24抽样分布抽样分布样本统计量的概率分布
7、样本平均数的分布特征一、样本平均数的平均数等于总体平均数25二、样本平均数的方差等于总体方差的1/n。26 样本平均数的标准差：反映的是样本平均数与其数学期望值（又即总体平均数）的平均误差程度，故可称为抽样平均误差、抽样标准误。影响抽样平均误差的因素？27抽样分布定理一、正态分布的再生定理一、正态分布的再生定理 当总体服从正态分布时（数学期望值与方差已知），样本平均数也服从正态分布。2829应 用 例：会计专业毕业生的年薪平均起点为25000元，假设其年薪服从正态分布，标准差为1000元。样本容量 n=100，400时1. 简述样本年薪平均起点的抽样分布。2.分别计算样本均值在总体均值左右10
8、0元以内的概率是多少 在估计总体均值时，大样本的好处是什么？30二、中心极限定理二、中心极限定理31中心极限定理 Central Limit Theorem (CLT)如果样本容量足够大 (n 30) .抽样分布近乎服从正态分布32习 题 本期全体“托福”考生的平均成绩为580分，标准差为150分，现在随机抽取100名考生成绩。1. 简述样本平均成绩的抽样分布。2.估计样本平均成绩在610分以上的概率是多少？33点估计与区间估计点估计根据样本资料得到参数的一个估计值。 抽样估计的基本方法341、无偏性： (Unbiasedness)优良估计量的标准35优良估计量的标准2、有效性： (Effic
9、iency)36优良估计量的标准3、一致性： (Consistency)37置信标准（置信度）：-zz38总体参数的区间估计（Interval estimate)正态总体，方差已知习 题 通常人类的智商呈正态分布，方差为225。现随机抽样64人调查，计算样本的平均智商为102。试以95.45的概率，估计总体智商均值的置信区间。3940 总体均值的置信区间为即为1023.75，102+3.75 =98.25，105.75因此，研究者有95.45的把握，确认总体智商的均值在98.25105.75之间。置信区间41总体参数的区间估计（Interval estimate)正态总体，方差已知正态总体，方
10、差未知42均值的区间估计(X 未知)应用 t 分布 -tt043 结论：44Zt0t (df = 5)标准正态分布 t (df = 13)钟形对称尾部较大（1）t分布关于x=0对称。（2）当样本容量很大时， 接近正态分布（3）E（X）=0 ，Var(X)=n/（n-2）45自由度 (df ) Degrees of Freedom (df )1. 当样本统计量被计算出以后可以自由取值的观测值数目2. 例如3 个数之和是 6X1 = 1 (或其他数)X2 = 2 (或其他数)X3 = 3 (不能改变)Sum = 6自由度 = n -1 = 3 -1= 246例 题 某大学从该校学生中随机抽取25人
11、，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟，样本方差S2=36。试以95%的置信水平估计该大学的学生平均每天参加体育锻炼的时间（假定xN（，2）。 解：已知 n=25，xN（，2）， 2未知 则样本统计量服从t分布47 总体均值的置信区间为即为262.48，26+2.48 =23.52，28.48故全校学生平均每天参加体育锻炼的时间在23.5228.48分钟之间。48假设检验的一般问题一、假设检验的基本思想二、假设检验的步骤三、假设检验中的两类错误49如果总体均值 = 4535样本均值不大可能为这个值因此拒绝原假设 = 45样本平均年龄45抽样分布一、假设检验的基本思想4050 假设检验
12、的基本思想 基于小概率原理的反证法51二、假设检验的步骤1、提出假设，包括原假设和备择假设2、构造相应的检验统计量，确定其分布形式；根据样本数据计算统计量的值；3、确定显著性水平和临界值 ；4、作出结论。（根据所计算的统计量的值与临界值比较确定是否拒绝原假设）52原假设 The Null Hypothesis1. 陈述需要检验的假设例如: H0: = 452. 原假设用 H0 表示3. 总是包含等号“=” （比如=, , )4. 检验以“假定原假设为真”开始53平均每天看电视时间不是5小时。如何设定假设检验？H0: = 5 H1: 554例 题（双侧检验） 据报导，美国全职教授年薪的数学期望值
13、为68000美元，标准差为5000美元。一个由36名大学全职教授组成的样本表明，平均薪水为70000美元，检验报导的可信性。（显著性水平为0.02）55H0临界值临界值 /2 /2 样本统计量拒绝域拒绝域非拒绝域接受域与拒绝域抽样分布1 - 置信度56（1）H0：=68000 H1；68000（2）检验统计量服从Z分布检验统计量: （3）=0.02，查正态分布表得：Z=2.33， 接受域为（2.33，2.33） 结论：拒绝假定。 57 质检员认为在整个工作流程中平均装盒量符合标准：没有超过368克。随机抽取25盒为样本，均值X = 372.5克，标准差s = 15 克。试在 = 0.05的条件
14、下进行检验。 给出你的结论。368 克.例 题（单侧检验）58t0拒绝H0t0拒绝H0接受域与拒绝域H0:0 H1: 0必须显著低于才会拒绝小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0左侧检验右侧检验59（1）H0：368 H1；368（2）检验统计量服从t分布检验统计量: （3）=0.05，查t分布表得：t=1.711， 接受域为（ ，1.711） 结论：接受原假定。 60假设检验中的两类错误检验决策错误第一类错误弃真错误, 后果往往较为严重出现第一类错误的概率为 , 等于显著性水平第二类错误 存伪错误, 出现第二类错误的概率为 61检验决策结果实际情况实际情况H0为真H0为假决策H0 为真 H0为假不拒绝正确错误不拒绝H0置信水平1-第二类错误 拒绝错误正确拒绝H0第一类错误 检验能力1 - 62t0/2拒绝H0P值检验H0:=68000 H1: 68000小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0检验统计量: =0.02 z=2.33，拒绝域:（-2.33 ，2.33 ）2.33（p=0.23）（p=0.016）（p=0.0000016）样本均值69000样本均值70000样本均值72000
