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1、.导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根或导函数的分子能分解因式, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。已知函数a0,求函数的单调区间例1 已知函数a0求函数的单调区间例3已知函数,其中。当时,求曲线在点处的切线方程；当时,求函数的单调区间与极值。解：当时,曲线在点处的切线方程为。由于,所以,由,得。这两个实根都在定义域R内,但不知它们之间 的大小。因此,需对参数的取值分和两种情况进行讨论。 当时,则。易得在区间,内为减函数,在区间为增函数。故函数在处取得极小值；
2、函数在处取得极大值。（1） 当时,则。易得在区间,内为增函数,在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。例4 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元3a5的管理费,预计当每件产品的售价为x元9x11时,一年的销售量为12-x2万件.1求分公司一年的利润L万元与每件产品的售价x的函数关系式；2
3、当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Qa.解 1分公司一年的利润L万元与售价x的函数关系式为：L=2,x9,11.L=2-2=.X=12y令L=0得x=6+a或x=12不合题意,舍去.3a5,86+a.912x在x=6+a两侧L的值由正变负.0 所以当86+a9即3a时, Lmax=L=2=9.当96+a即a5时,Lmax=L=12-2=43.所以Q=答若3a,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Qa=9万元；若a5,则当每件售价为元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q=43-a3.导函数零点确定,但区间端点不确定引起讨论的典例例2、已知 .求函
4、数的单调区间; .求函数在上的最小值; 对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 解： 0tt+2,t无解； 0tt+2,即0t时,； ,即时,9分 由题意:在上恒成立,即 可得分离参数,设, 则12分 令,得 当时,;当时,当时,取得最大值,=-213分.二求导后,导函数为零有实根或导函数的分子能分解因式,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。1 已知函数 ,求函数的单调区间例2 已知函数a0,求函数的单调区间 例3已知是实数,函数求函数的单调区间；设为在区间上的最小值。 写出的表达式； 求的取值范围,使得。解：函数的定义域为,由得。考虑是否落在导函数的定义域内,需对参数的取值分
5、及两种情况进行讨论。（1） 当时,则在上恒成立,所以的单调递增区间为。（2） 当时,由,得；由,得。因此,当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为。由第问的结论可知：（1） 当时,在上单调递增,从而在上单调递增,所以。（2） 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以： 当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以。 当,即时,在上单调递减,所以。综上所述,令。若,无解；若,由解得； 若,由解得。综上所述,的取值范围为。三.求导后,因导函数为零是否有实根或导函数的分子能否分解因式不确定,而引起的讨论。例1已知函数 求函数的单调区间例2已知函数求函数的单调区间例3 设,函数,试讨论函数的单调性。解：。
6、考虑导函数是否有实根,从而需要对参数的取值进行讨论。一若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。（1） 当时,在上恒成立,所以函数在上为增函数；（2） 当时,。由,得,因为,所以。由,得；由,得。因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。二若,则。由于当时,无实根,而当时,有实根,因此,对参数分和两种情况讨论。1 当时,在上恒成立,所以函数在上为减函数；2 当时,。由,得；由,得。因此,当时,函数在上为减函数,在上为增函数。综上所述：（1） 当时,函数在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数。（2） 当时,函数在上为增函数,在上为减函数。（3） 当时,函数在上为
7、增函数,在上为减函数,在上为增函数。19设a0,讨论函数fx=lnx+a1-ax2-21-ax的单调性。解：函数的定义域为当的判别式当有两个零点,1且当内为增函数；当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当 时,由0 0所以在定义域内有唯一零点,且当内为增函数；当时,内为减函数。的单调区间如下表： 其中因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。例已知函数f=1n x,g=,若直线与y=f和y=g的图象都相切,且与y=f的图象相切于定点P1,f11求直线的方程及a 的值；2当kR时,讨论关于x的方程f-g=k的实数解的个数解：1f=,f1=1 k1=1,又切点为P1,f1,即1,0l的解析式为y=
8、x-1,y=x-1l与y=g相切,由 y=,消去y得x2-2x+2a+2=0,=-22-42a+2=0,得a=-2令hx=f-g=1nh=-x=-,则为增函数,-1x0或x1时,故x=1时,hx取极大值1n2, x=0时,hx取极小值。因此当k1n2,+,原方程一解；当k=1n2时,原方程有两解；当k1n2时,原方程有四解；当k=时,原方程有三解；当k时,原方程有两解5.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论例1：此为不能分离出参数a的例题已知当 时,若对有恒成立,求实数的取值范围.解：因为f=x3-6ax2+9a2x,x3-6ax2+9a2x-40所以f=3x2-12ax+
9、9a2=3x-3a, 在上0是增函数,在上0是增函数。所以函数在x=a时,所以函数在x=a时,因对有恒成立, 求实数的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下：a0当两个极值点都在指定区间内时。即03a3,也就是0a0时为什么分为0a0是增函数,在上0是增函数。所以函数在x=a时,所以函数在x=a时,有恒成立,等价于解得即0a1当两个极值点有一个在指定区间内时。即03时,也就是10时为什么分为0a0是增函数,在上3时, 当a0时为什么分为0a0是增函数, 与 矛盾。 综上：对有恒成立时,实数的取值范围是.例4设函数,其中,求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为,的分母在
10、定义域上恒为正,方程是否有实根,需要对参数的取值进行讨论。1当,即时,方程无实根或只有唯一根,所以,在上恒成立,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,从而函数在上无极值点。2当,即时,方程,即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：当时,所以。此时,与随的变化情况如下表：0递减极小值递增由此表可知：当时,有唯一极小值点。当时,所以。此时,与随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由此表可知：当时,有一个极大值点和一个极小值点。综上所述：（1） 当时,有唯一极小值点；（2） 当时,有一个极大值点和一个极小值点；（3） 当时,无极值点。从以上诸例不难
11、看出,在对含参数的导数问题的讨论时,只要把握以上三个基本讨论点,那么讨论就有了方向和切入点,即使问题较为复杂,讨论起来也会得心应手、层次分明,从而使问题迎刃而解。小问5分,小问7分.已知函数,是奇函数.求的表达式;讨论的单调性,并求在区间1,2上的最大值和最小值.21已知函数I当时,求曲线在点处的切线方程；II当时,讨论的单调性.解： 当 所以 因此, 即 曲线又所以曲线 因为 ,所以,令 1当所以,当,函数单调递减；当时,此时单调递 2当 即,解得当时,恒成立,此时,函数在0,+上单调递减；当时,单调递减；时,单调递增；,此时,函数单调递减；当时,由于时,此时,函数单调递减；时,此时,函数单调递增。综上所述：当时,函数在,上单调递减；函数在,上单调递增；当时,函数在0,+上单调递减；当时,函数在0,1上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减,已知函数.当时,讨论的单调性；设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.解：因为,所以 ,令 ,当时,恒成立,此时,函数 在上单调递减；当,时,此时,函数单调递减；时,此时,函数 单调递增；时,此时,函数单调递减；当时,由于,此时,函数 单调递减；时,此时,函数单调递增.
