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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义 9.7 方向导数与梯度目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数定义: 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 目录 上页 下页 返回 结束 定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解: 向量 l 的方向余弦为目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线
2、朝 x 增大方向的方向导数.解: 将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解: 方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或 Nabla算子.
3、( 为方向l 上的单位向量)目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度的几何意义称为函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 处的法向量为 举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时, 等高线图举例这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设函数解: (1) 点P处切平面的法向量为在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2) 求函数 f
4、在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多目录 上页 下页 返回 结束 3. 梯度的基本运算公式目录 上页 下页 返回 结束 例5.证:试证处矢径 r 的模 ,目录 上页 下页 返回 结束 三、物理意义函数(物理量的分布)数量场 (数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场( 势 )如: 温度场, 电势场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束 例6. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证: 利用例5的结果 这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点
