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1、 变化率与导数天津市第四十七中学（李春霞）（一）变化率与导数微积分主要与四类问题的处理相关:l一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;l二、求曲线的切线;l三、求已知函数的最大值与最小值;l四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。思考?l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在
2、0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。 定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,则理解：1，式子中x 、 f 的值可正、可负，但的x值不能为0， f 的值可以为02，若函数f (x)为常函数时， f =0 3, 变式 思考?l观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到
3、2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .做两个题吧!l1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x Dl2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x （二）、 导数的概念l在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时
4、刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度t0时时, 在2, 2 +t 这这段时间时间 内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于
5、2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.从2s到(2+t)s这段时间内平均速度探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或
6、 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:1. 求函数的改变量2. 2. 求平均变化率3. 3. 求值 题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理
7、可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.练习：小结：l1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率1. 求函数的改变量2. 2. 求平均变化率3. 3. 求值3.由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:课后思考题：12.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由.
