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1、2016年中学生理化报课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知,(m为任意实数),则、的大小关系为( ).A、 B、 C、 D、不能确定解:0, QP,即PQ,故选A.2.已知,则( ).A、16 B、32 C、64 D、128解:令x1,得令x1,得得:,故选C.3.已知有理数a、b、c满足关系式,则的末位数字为( ).A、2 B、4 C、6 D、8解:易知a4,bc4,从而8而的个位数字与的个位数字相同,故末位数字为8,所以选D.4.平面上有6个点,其中仅有三个在同一条直线上,过每两个点作一条直线,
2、则一共可以作出的直线的条数为( ).A、9 B、12 C、13 D、15解:如果6个点中任意三点都不共线,那么一共可以作出的直线有5432115(条),现其中仅有三点共线,那么一共可以作出的直线的条数为153112(条),故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分,那么该直线必通过三角形的( ).A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心解:如图,设直线平分的周长和面积,D,E分别在边AB和上,作A的平分线交于P,记P到AB,的距离为,P到BC的距离为,于是依题意有由此容易解得,即P到ABC三边的距离相等,所以P是ABC的内心.故选A.6.如图,以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同
3、侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO.如果AB4,AO,那么AC的长为( ).A、 B、 C、12 D、16解:如图,在CA上截取CMAB4,连接OM,设OB与AC的交点N.ABO90ANB,MCO90CNO又ANBCNOABOMCO,又ABMC,BOCO,故ABOMCO,AOMO,AOBMOC,BOMMOCBOC90,BOMAOB90,即AOM90,故AOM是腰长为的等腰直角三角形,由勾股定理可得其斜边AM12,ACAMMC12416,故选D.7.D是ABC的BC边延长线上一点,且CDBC,E为AC的中点,DE的延长线交AB于点F,则DEEF等于( ).A、21 B、23 C、3
4、1 D、32解:如图,过点C作CGAB交ED于点G.由E是AC中点易证AEFCEG,从而EFEG.CGAB,且C为BD的中点,G为FD的中点,GDGF2EF,从而DEGDEG2EFEF3EF,DEEF31.故选C.8.如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标不可能是( ).A、(8,4) B、(7,4) C、(3,4) D、(2,4)解:易知OA10,OC4,点P的纵坐标为4.因为D为OA的中点,故OD5.ODP是腰长为5的等腰三角形,OD是等腰ODP的一条腰.当OPOD5时,如图1
5、,由于OC4,因此由勾股定理得CP3,此时点P的坐标为(3,4);当PDOD5时,如图2,过点D作DEBC于E,则DEOC4,从而由勾股定理得PE3,又易知CEOD5,所以CP532,此时点P的坐标为(2,4),显然,点P关于点E的对称点P1也符合题意,其坐标为(8,4).综上只有点(7,4)不可能,故选B.9.定义,其中表示a,b的最大公约数,表示a,b的最小公倍数,则的值为( ).A、383 B、384 C、385 D、400解:由“”的定义可得,384,故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业,若甲不在A校学习;乙不在B校学习;在B校学习的
6、学数学;在A校学习的不学化学;乙不学物理.则( ).A、甲在B校学习,丙在A校学习 B、甲在B校学习,丙在C校学习C、甲在C校学习,丙在B校学习 D、甲在C校学习,丙在A校学习解:在B校学习的学数学,在A校学习的不学化学,在A校学习的必然学物理,从而在C校学习的必然学化学,又乙不学物理,且乙不在B校学习,乙必然在C校学习,又甲不在A校学习,甲在B校学习,丙在A校学习,故选A.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.已知,则代数式的值为 .解:答案为3., 3.12.已知,则的值为 .解:答案为18.显然x0,把方程两边同时除以x得:,从而.,即,故,3(71)18.13.已知关
7、于x,y的方程组的解满足,则m .解:答案为1.解方程组得,代入,得,2,解得m1.14.如图,D为等边ABC内一点,DBDA,BEAB,DBEDBC,则BED .解:答案为30.由ADBD,ACBC,CDCD,得ACDBCD,所以ACDBCD.因为ACDBCDACB60,所以ACDBCD30.BEAB,而ABBC,BEBC,又DBEDBC,BDBD,DBEDBC,从而BEDBCD30.15.如图,矩形ABCD的面积为24,点E、F分别是边AB、BC的中点,连AF、CE,设AF、CE交于点G,则四边形BEGF的面积为 .解:答案为4.连接BG.SABFABBFABBC ABBC246,同理SB
8、CE6.E、F分别为AB、BC的中点,SAGESBGE,SCGFSBGF.设SAGESBGEx,SCGFSBGFy,则有下面的方程组:,故,即S四边形BEGF.16.如图,两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象,它们交于点A(4,3),一次函数的图象与y轴交于点B,且OAOB,则这两条直线与x轴围成的AOC的面积为 .解:答案为.过点A作ADx轴于点D,由A(4,3)得AD3,OD4,故在RtAOD中由勾股定理得OA5,从而OBOA5,所以点B的坐标为(0,5).设一次函数的解析式为,将A、B两点坐标分别代入,得: ,解得,b5,一次函数的解析式为.令y0,可得x,即C点坐标为(,0
9、),所以OC.SAOCOCAD3.17.有一个六位数,它的个位数字是6,如果把6移至最高位,那么所得到的六位数是原六位数的4倍,则这个六位数是 .解:答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x,则这个六位数可以表示为10x6,而新的六位数则可以表示为600000x,根据题意得: 600000x4(10x6)解得x15384.故所求六位数为153846.18.已知函数(1x2),则y的最大值与最小值之差为 .解:答案为1.1x2,x20,x20.,显然,当x2时,y有最大值为5,当x0时,y有最小值为4.y的最大值与最小值的差为541.三、解答题(本大题共4小题,每小题12分
10、,共48分)19.小刚为书房买灯,现有两种灯可供选择,其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯,售价49元/盏,另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯,售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样,使用寿命都可以达到2800小时,已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦时.(1)设照明时间为x小时,请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用;(注:费用灯的售价电费)(2)小刚想在这两种灯中选购一盏.当照明时间是多少时,使用两种灯的费用一样多?当照明时间在什么范围内,选用白炽灯费用低;照明时间在什么范围内,选用节能灯费用低?(3)小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小
11、时,请你帮他设计费用最低的选灯方案,并说明理由.解:(1)用一盏节能灯的费用是:(490.0045x)元; 用一盏白炽灯的费用是:(180.02x)元.(2)由题意,得: 490.0045x180.02x解得x2000当照明时间为2000小时时,两种灯的费用一样多.当白炽灯费用低时,有490.0045x180.02x x2000当节能灯费用低时有490.0045x180.02x x2000当照明时间小于2000小时时,选用白炽灯费用低,当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时,选用节能灯费用低.(3)分下列三种情况讨论:如果选用两盏节能灯,则费用是:980.00453000111.5(元),如果选用两盏白炽灯,则费用是:360.023000096(元),如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯,由(2)可知,当照明时间大于2000小时时,用节能灯比用白炽灯费用低,所以节能灯用足2800小时,白炽灯用200小时,总费用为: 670.004528000.0220083.6(元). 83.696111.5 选用一盏节能灯、一盏白炽灯