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1、概率论第4章习题参考解答1 .若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮，命中3炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮.解：设E为射击10炮命中的炮数,则EB(10Q7),命中3炮的概率为P3第0.730.370.0090至少命中3炮的概率，为1减去命中不到3炮的概率，为2P31P31Ci。0.7i0.310i0.9984i0因np+p=10X0.7+0.7=7.7不是整数，因此最可能命中7.7=7炮.2 .在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解：设己为10件产品中的废品数，则己B(10,0.01),则废品数不超过2个的概率为2P2C10
2、0.01i0.9910i0.9999i03 .某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动彼此独立，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解：设每时刻机床开动的数目为。则己B(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为T个单位，则刀=15己，因此,、,、,270、,、P270P15270PP181520C200.8i0.220i0.2061i184 .从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.解：设这20个产品中的废品数为。则己B(20,0.1),假设这20个产品中
3、的废品率为T,则刀=E/20.因此3P0.15P0.15P3C200.1i0.920i=0.86720i05 .生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.解：设士为这20件产品中的废品数，则己B(20,0.1),又通过检查已经知道己定不少于2件的条件，则要求的是条件概率P3|2P_21P2因事件23,因此322因此20P 3|P 3P220P i P 2 i 2 20P ii 2P 211 P ii 0P i i 3 20P ii 2P 220P ii 2c2o 0.12 0.918 20190.920 20 0.1 0.91港
4、 0.60830.53126 .抛掷4颗骰子，E为出现1点的骰子数目，求己的概率分布，分布函数，以及出现1点的骰子数目的最可能值.解：因掷一次骰子出现一点的概率为1/6,则EB(4,1/6),因此有P kc：(k0,123,4),x 00x4x 4标准差为D 3.99 1.9970k4kF(x)C4k3|kx661或者算出具体的值如下所示:01234P0.48230.38580.11570.01540.00080x00.48230x10.86811x2F(x)0.98382x30.99923x41x4从分布表可以看出最可能值为0,或者np+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数，因此最
5、可能值为5/6=0.7 .事件A在每次试验中出现的概率为0.3,进彳T19次独立试验，求(1)出现次数的平均值和标准差;(2)最可能出现的次数.解：设19次试验中事件A出现次数为E,则R19,0.3),因此(1)己的数学期望为EE=np=19X0.3=5.7方差为DE=np(1-p)=19x0.3x0.7=3.99(2)因np+p=5.7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6.8 .已知随机变量E服从二项分布,EE=12,DE=8,求p和n.解：由EE=np=12(1)和DE=np(1-p)=8(2)由得n=12/p,代入到(2)得12(1-p)=8,解出p=(12-8)/12=1/3=0.
6、3333代回到(1)式得n=12/p=12X3=369 .某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时平均有15分钟时间使用台秤，求一天10小时，平均有多少时间台秤不够用.解：每个时刻构成一n=4的贝努里试验，且p=15/60=0.25,因此，设E为每个时刻要用秤的售货员数，则EB(4,0.25),当己2时，台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为P(2)C30.2530.750.2540.0508因此10个小时平均有0.0508X10=0.508个小时台秤不够用.10 .已知试验的成功率为p,进彳T4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解：设己为
7、4次试验中的成功数，则EB(4,p),事件没有全部失败即事件己0,而事件”试验成功不止一次即事件E1,因此要求的是条件概率PE1|E0,又因事件E1被事件E0包含，因此这两个事件的交仍然是E1,因此P1|10P1P01 P 0 P 11 P 034pq1q4其中q=1-p0) 1 (1 p)2 5/9,解得11 .E服从参数为2,p的二项分布，已知R己小)=5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？解：因己B(2,p),则必有P(1)1P(2(1p)215/94/91p2/3p12/31/3则假设刀为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数，tB(4,1/3),则P(
8、 1) 1 P(0) 1 (1p)4 116810.80212. 一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率解：设E为抽取4个中的废品数则己服从超几何分布，且有P(2)2 i 4 iC5C15i 0C200.96813.如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试将下例用两个公式计算，并比较其结果.产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1的概率.解：设任抽3个中的废品数为。则士服从超几何分布,废品数为0.1X1000=100C1C2P1-10039000.24353C1000而如果用二项分布近似计算，n=
9、3,p=0.1,B(3,0.1)P1C30.10.920.2430近似误差为0.0005,是非常准确的.14 .从一副朴克牌(52)中发出5,求其中黑桃数的概率分布.解：设己为发出的5中黑桃的数，则己服从超几何分布，则Pi(i 0,1,2,3,4,5)012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.0005C13C52 13 C52则按上式计算出概率分布如下表所示15 .从大批发芽率为0.8的种子中，任取10粒，求发芽粒数不小于8粒的概率.解：设己为10粒种子中发芽的粒数，则己服从超几何分布，但可以用二项分布近似其中p=0.8,n=10,则10ii10iP8C10
10、0.80.2=0.6778i816.一批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率.解：设己为800件产品中的废品数，则己服从超几何分布，可以用二项分布近似，则R800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小，可以用普阿松分布近似，参数为入=np=800x0.001=0.82P20.8-e0.80.1438P208-e0.80.9526i0i!17.某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品，求产品为废品的概率以及产
11、品的平均价值.解：设己为产品表面上的疵点数，则己服从普哇松分布，入=0.8,设P为产品的价值，是己的函数.则产品为废品的概率为P4 1 P4140.8eo.80.0014i0i!P10P110.8088i0i!P8P144i0.80.8ei2i!0.1898则产品的平均价值为E刀=10xP刀=10+8XP刀=8=10X0.8088+8X0.1898=9.6064(元)18.一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解：设E为每页上的印刷错误数目，则士服从普哇松分布，入=2,则1页印刷错误都不超过4个的
12、概率为P422e0.9473i!而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为100P40.00445419.某型号电子管的“寿命”士服从指数分布出己的概率密度，并计算P(1000己1200).解：因EE=1000=1/入,其概率密度为如果它的平均寿命EE=1000小时，写(x)x1八1000e10000P(1000100012001200)e脸e，e1e120.066720.己N0,1),0(x)是它的分布函数RE=0)各是什么值？解：因有60(x)是它的概率密度，0(0),60(0),0(x)22dt,因此巾0(x)为偶函数，由对称性可知0(0)=0.5,并有o(0)因己为连续型随机变量，取任
13、何值的概率都为0,即R己=0)=0.21.求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下，还可以继续使用100小时而不坏的概率？解：要求的概率为P(七600| :E 500),因此600P(600 |500P(6001000 eP(500500c 1000 e0.1e 0.90522.若己服从具有n个自由度的2-分布，证明的概率密度为n1x2XT-ex0(x)221n20x0称此分为为具有n个自由度的x-分布证：设J,则因己的概率密度函数为-x2e2x0(x)22n20x0T的分布函数为F (x) P( x) P(,x) P(x2)F (x2)(x 0)对两边求导得2.2n2xn1x(x 0)(x)2x(x2)2xe2e222n251n2223 .己N0,1),求RE0,P|E|3,R03,R-1己0=1-0(0)=0.5印E3=20(3)-1=2X0.99865-1=0.9973P0己5=o(5)-0.5=0.5
