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1、结构力学结构力学 STRUCTURE MECHANICS本章主要内容91 位移法的基本概念92 等截面直杆的物理方程93 位移法基本结构和基本未知量数目的确定94 位移法典型方程和算例95 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架96 对称性的利用97 直接按平衡条件建立位移法方程98 用位移法计算结构由于支座位移 和温度变化引起的内力99混合法已有的知识：（2）静定结构的内力分析和位移计算；（1）结构组成分析；（3）超静定结构的内力分析和位移计算力法；已解得如下单跨梁结果。回顾力法的思路：（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的变形，
2、消除与原结构的差别，建立力法典型方程；（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。核心是化未知为已知核心是化未知为已知5(a) (b) 一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移），见图 (a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位移未知量变化见图 (b) P P位移法也是计算超静定结构的基本方法之一位移法也是计算超静定结构的基本方法之一. .力法计算力法计算,9 ,9个基本未知量个基本未知量位移法计算位移法计算, 1, 1个基本未知量个基本未知量结构在一定的外因作用下，内力和位移间恒有一定的关系。因此，也可把结构的某些位移作为基本未知量，求出这些位
3、移，再据以确定结构的内力三、解题思路qCllBBBA(a)CABqBB(b)CBBBACBBBACBA(d)(c)(b)Z1= BZ1= BqqR=0R11R1P以图（b）、（c）（d）分别代替图（b）、（c）、（d）：ABqC(d)ABCB(c)BqCllBBBA(a)原结构：(b)基本体系：CBBBACBA(d)(c)Z1= BqR11R1PCBBBAZ1= BqR=01、基本体系CBBBAr11Z1= 2、平衡条件 R11+R1P=0因为：R11=r11Z1 (见下图）所以： r11Z1 +R1P=0Z1= R1P r11四、解题步骤（1）选取位移法法基本体系；（2）列位移法基本方程；（
4、3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求位移方程各系数，解位移法方程（5）依M=M1Z1+M2Z2+.+MP绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。五、解题示例qCllBBBA原结构CBBBA基本体系Z1qACB2ql/82ql/8Mp图CBAZ1= 1M1图2EI/l4EI/l3EI/lCBAM图2ql/8ql/28ql/1422CBAQ图4ql/73ql/73ql/2812六、小结9.2 等截面直杆的物理方程（转角位移方程）一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程 1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计算基础的。 2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系“转角位移方程 ”
5、 。 3、渐近法中也要用到转角位移方程。二、杆端力的表示方法和正负号的规定PBAMAB0MBA0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同“材力”。 PBAQBA0QAB0 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。 三、两端固定梁的转角位移方程 3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。lqPBABABBAABABAQBAMBAQABMABEIlqPBABABBAABABAQBAMBAQABMABEI(a
6、) 推导：已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时B支座有支座位移D，用单位荷载法求位移qA、qB，然后将杆端力QAB、MAB、QBA、 MBA表示成位移的函数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁两端转角位移的过程。 (b) (c) 1）求qA1,qA1见上图(b) (d) (e) (f) (g) 2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到 由平衡条件得杆端剪力：见图(g) 等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度方程。4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程 MfBAMfAB式中，MfAB、MfBA为两端固定梁在荷载单独作用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)四、一
7、端固定、另一端铰支梁的转角位移方程 lqPBABABAABAQBAQABMABEI五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程 lqPBABAABAQABMABEIMBA28表91 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力293031329.3 基本未知量数目的确定一、基本未知量ABCDBCBC二、基本假设1、结点角位移2、结点线位移 1、小变形假设。2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。 （采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）三、如何确定基本未知量4、确定线位移的方法 （1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。 1、在刚结点处加上刚臂2、在结点会发生线位移的方向上
8、加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。（见上例） （2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。354、确定线位移的方法365、确定角位移的方法如何确定基本未知量举例：1角1线1角2线2角1线1角1线1角2线9.4 位移法典型方程及算例 图（a）中刚架在刚结点B有一个独立角位移，编号为Z1；另外结点A、B、C有一个独立水平线位移，编号为Z2，基本未知量和基本结构见图（b）。a图b图基本结构在外荷载q单独作用下引起的弯矩图，记为MP图，见图（C）。它引起附加刚臂和附
9、加链杆的反力矩和反力，分别用R1P、R2P（图C）c图 基本结构在Z1=1及Z2=1单独作用下产生的弯矩图，称为单位弯矩图（d、e图）。用r11、r21、r12、r22表示在相应的附加约束中产生的反力矩及反力。d图e图设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1 及Z2分别作用下，在附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为R1及R2，由叠加法可得其表达式为:要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零上式既为二个未知量的位移法典型方程计算系数和自由项可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体,由平衡条件求得系数和自由项计算附加刚臂中由Z1=1，Z2=1及
10、荷载单独作用下产生的反力矩时。取结点B为隔离体，运用力矩平衡方程可求得有关刚臂中的反力矩系数和自由项计算附加链杆中产生的反力时。取横梁ABC部分为隔离体用投影方程，可求得相应的系数和自由项将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：求解方程组，得基本未知量的值为：在计算位移法典型方程中的系数和自由项时，已经作出单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,可用叠加法求最后内力和作弯矩图M=M1Z1+ M2Z2+ MP绘弯矩图位移法典型方程的物理意义： 基本结构在外荷载和结点位移共同作用下，在每一个附加约束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受力与原结构是相同的，实质上代表了原结构的静力平衡方程。对于具有n个独立结
11、点位移的结构则可建立n个方程如下几点说明（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。 在位移法典型方程中，每个系数都是单位结点位移所引起的附加约束的反力，它的大小与结构刚度有关刚度愈大则反力也愈大。故把系数称为结构的刚度系数，把典型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚度法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结构，也无论结构形式有多大差异，也不管基本未知量的类型有什么不同，只要结构的位移法基本未知量数目相同，位移法方程形式都是相同的。 用位移法的典型方程方法计算各外部因素（载荷、支座位移等）作用
12、下的各类结构内力的步骤归纳如下：1确定原结构的基本结构和基本未知量；2列位移法的基本方程（典型方程）；3计算系数和自由项。首先作图和图，然后用平衡条件计算系数和自由项；典型方程法的计算步骤4解联立方程组求基本未知量；5求结构内力，并作内力图；6校核。用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架和有侧移刚架等。位移法应用举例例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。22.55、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。Z1Z23、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算
13、各系数例3、试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Z 1Z 2Z3Z 1、 Z 2、Z3Z 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程r11Z 1+ r12Z 2+ r13Z 3+R1P=0 r21Z 1+ r22Z 2+ r23Z 3+R2P=0 r31Z 1+ r32Z 2+ r33Z 3+R3P=0 （4）计算系数：r11、r12、r
14、13、r21、r22、r23、r31、r32、r333241.53r11=3+4+3=10kr12=r21=2r13=r31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Z 2=13 34 42 22 21 1r22=4+3+2=9r23=r32=?Z 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8r33=(1/6)+(9/16)=35/48r31=r13= 9/8r32=r23= 1/2（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042
15、=40(1/12) 2052=41.7R1P=4041.7= 1.7R2P=41.7R3P=0（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图ABCDFEM图（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。585960求得Z125/10, Z2=65/40M1图M2图MP图M图（kN.m）MBA=325/10007.5kN.m(左拉)MBC=825/10465/40242.5kN.m(下拉)MCB=425/10865/402447kN.m(上拉)MCD=0465/4006.5kN.m(左拉)MCE=
16、0465/406053.5kN.m(上拉)MEC=0（4）65/4020 26.5kN.m(上拉)M=M1Z1M2Z2MP616263646566676869707172739-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架 对称结构在对称荷载作用下，其变形曲线、弯矩图和轴力图呈对称形，但剪力图是呈反对称形； 对称结构在反对称荷载作用时则相反。 在力法中，对于对称结构，已介绍过用半结构来分析，从而使计算得到简化，此方法也适用于位移法。 9-6 对称性的利用一、半刚架法 用半个刚架的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。二、对称结构承受正对称荷载 1、奇数跨刚架：用带有定向支承的半刚架代替。2、偶数跨刚架：简化为带有固定端的半刚架。二、对称结构承受反对称荷载 1、奇数跨刚架：简化为带有竖向链杆刚架。PPABCECDPPABCPPABCP2、偶数跨刚架：简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架。这一对剪力 将只使两柱分别产生等值反号的轴力而不使其他杆件产生内力。而原刚架中间柱的内力是等于该两柱内力之代数和，因而由剪力所产生的轴力则刚好相互抵消，故剪力实际上对原结构的内力和变形均无影响。因此，可将略去而取
