试题研究求数列通项公式的十一法(方法全,例子全,归纳细)22300字 求数列通项公式的十一法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数一、累加法1．适用于：an?1?an?f(n) ，这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一分析：若an?1?an?f(n)(n?2)，a2?a1?f(1)则 a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)两边分别相加得 an?1?a1??f(n)k?1n1，a1?1，求数列{an}的通项公式 例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。
2，a1?3，求数列{an}的通项公式 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1解法一：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则nnnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.n?1解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得nnan?1an21?n??n?1， n?13333则an?1an21，故 ???3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?332313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?13333331(1?3n?1)nan2(n?1)2n11因此n， ???1???n331?3322?321n1n则an??n?3??3?.3222an???a?an?1?an?2n(n?N*)练习1.已知数列的首项为1，且写出数列n的通项公式.答案：n?n?1 2练习2.已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和评注：已知an?2?1n a1?a,an?1?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列{an}中, an?0Sn?且1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式. Sn?解：由已知化简有1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1 ,由类型(1)有2n2Sn?S12?2?3???n22Sn?Sn?1?n n(n?1)s?S?an?0nS?aa?12111又得,所以,又,an?2n(n?1)?2n(n?1)2 2n(n?1)2, 则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于： an?1?f(n)an ，这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二 分析：若an?1?f(n)， an则aaa2?f(1)3?f(2)，??n?1?f(n) a1a2annan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?13例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则nnan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.22?n?1?an?nan?an?1an?0n??a?1n例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，?），则它的通项公式是an=________.解：已知等式可化为：(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0*?an?0(n?N)?(n+1)an?1an?1n??nan?0an?1 , 即nann?1?n ?n?2时，an?1anan?1a2an??????a1n?1?n?2??1?11an?1an?2a1n?12=n. ?=n评注：本题是关于an和an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an?1的更为明显的关系式，从而求出练习.已知答案：an. ,求数列{an}的通项公式. an?1?nan?n?1,a1??1an?(n?1)!?(a1?1)-1.an?1?nan?n?1,转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an?1?1?n(an?1),项公式. 若令bn?an?1,则问题进一步转化为bn?1?nbn三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
41．形如an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型（1）若c=1时，数列{（2）若d=0时，数列{anan}为等差数列; }为等比数列;a（3）若c?1且d?0时，数列{n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设得an?1???c(an??),与题设, 比较系数得 an?1?can?(c?1)?an?1?can?d,(c?1)??d,所以??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1 所以有：d??da??n?a1?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列， 因此数列?所以 an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：an?1?can?d规律：将递推关系化为an?1?dd?c(an?)c?1c?1,构造成公比为c的等比数列{an?dddan?1??cn?1(a1?)c?1从而求得通项公式1?cc?1an?1?can?d中把n换成n-1有逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an?can?1?d,两式相减有an?1?an?c(an?an?1)an?1?an?cn(a2?a1)从而化为公比为c的等比数列{an?1?an},进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.此方法比较复杂.例6已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。
解法一：?an?2an?1?1(n?2),?an?1?2(an?1?1)又?a1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列 ?an?1?2，即an?2?1解法二：?an?2an?1?1(n?2),5 nn?an?1?2an?1两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的??练习．已知数列{an}中，a1?2,an?1?11an?,22求通项an 1an?()n?1?12答案：2．形如：an?1?p?an?qn(其中q是常数，且n?0,1)，累加即可. ①若p=1时，即：an?1?an?qnan?1?p?an?qnp?1②若时，即：，n?1p求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列an?1n?1p即： an1pn1p?n??()bn?nbn?1?bn??()npq,令pq,然后类型1，累加求通项. qp，则ann?1qii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列an?1n?1q 即： ?pan1??nq, bn?令anqn,则可化为bn?1?p1?bn?.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设an?1???qn?1?p(an???pn).通过比较系数，求出?，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求p?q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列{an}满足an?1?2an?4?3n?1，a1?1，求数列?an?的通项公式1??4,?2?2， 解法一（待定系数法）：设an?1??13n??2(an???3n?1)a1?4?31?1??5，比较系数得?a则数列所以n?4?3n?1?是首项为，公比为2的等比数列， an?4?3n?1??5?2n?1，即an?4?3n?1?5?2n?1解法二（两边同除以qn?1an?12an4??n?2n?1n?1333，下面解法略 ）： 两边同时除以3得：36an?1an43n?n??()n?1n?1n?1p32，下面解法略 2解法三（两边同除以）： 两边同时除以2得：2练习.aa?3n?1?2a1an?[3n?(?1)n?1?2n]?(?1)n?2na0(n?N)设0为常数，且nn?1．证明对任意n≥1，53．形如an?1?pan?kn?b (其中k,b是常数，且k?0)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 (an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y);解题基本步骤：1、确定f(n)=kn+b2、设等比数列bn?(an?xn?y)，公比为p3、列出关系式(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y),即bn?pbn?14、比较系数求x,y5、解得数列(an?xn?y)的通项公式6、解得数列?an?的通项公式例8 在数列{an}中，a1?1,an?1?3an?2n,求通项an.（逐项相减法） 解：?，an?1?3an?2n, ①?n?2时，an?3an?1?2(n?1)，两式相减得 an?1?an?3(an?an?1)?2.。