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1、福建省福州市思源中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）若ab0，则下列不等式中，一定成立的是（）Aa2abb2Ba2abb2Ca2b2abDa2b2ab参考答案：B考点：不等式的基本性质专题：不等式的解法及应用分析：由于ab0，利用不等式的基本性质可得a2abb2解答：解：ab0，a2abb2，故选：B点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题2. 某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为( )ABCD参考答案：B考点：几何概
2、型 专题：概率与统计分析：由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，两值一比即可求出所求解答：解：由题意知这是一个几何概型，电台整点报时，事件总数包含的时间长度是60，满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到P=故选B点评：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题3. 函数是上的奇函数，,则的解集是 A . B. C. D. 参考答案：C4. 等比数列的前项和为，若，且与的等差中项
3、为，则（）A.35 B.33 C.31 D.29参考答案：C5. 已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）ABCD参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】先利用复数的乘除运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数【解答】解：i是虚数单位，复数z满足z=，z的共轭复数=故选：C【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用6. 如图所示，在平面四边形ABCD中，为正三角形，则面积的最大值为ABCD参考答案：D在中，设，由余弦定理得：，为正三角形，在中，由正弦定理得： ，BA
4、C，为锐角，当时, .7. 已知直线x9y8=0与曲线C：y=x3px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A4B4或3C3或1D3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x122px1+3=3x222px2+3=m，把x1，x2看作方程3x22px+3m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验【解答】解：由y=x3px2+3x，
5、得y=3x22px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x122px1+3，3x222px2+3，曲线C在A，B处的切线平行，3x122px1+3=3x222px2+3，令3x122px1+3=3x222px2+3=m，x1，x2是方程3x22px+3m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，=pp3，而（）3p（）2+3?=p3p3+p=pp3，线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p8），+p=pp3，解得p=1，3或4当p=1时，y=x3+x2+3x的导数为y=3x2+2x+30恒成立，即函数
6、为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=3，或4时，y=x3px2+3x不单调，成立故选：B8. 设函数定义在实数集上, ,且当x1时, ,则有（ ）ABCD参考答案：C试题分析：函数的对称轴为，时，函数以为对称轴且左减右增，故当时函数有最小值，离越远，函数值越大，故选C考点：对数值大小比较.9. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）A. 成绩在70,80分的考生人数最多B. 不及格的考生人数为1000人C. 考生竞赛成绩的平均分约70.5分D. 考生竞赛成绩的中位数为75分参考答
7、案：D【分析】根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，即B正确；C选项，由频率分布直方图可得：平均分等于，即C正确；D选项，因为成绩在频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误.故选D【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.10. 在极坐标系下，已知圆C的方程为=2cos，则下列各点在圆C上的是（）A BCD参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：把各个点的坐标（，） 代入圆的方程进行检
8、验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上解答：解：把各个点的坐标（，） 代入圆的方程进行检验，1=2cos（），选项A中的点的坐标满足圆C的方程12cos（ ），选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程2cos，选项C中的点的坐标不满足圆C的方程2cos，选项D中的点的坐标不满足圆C的方程综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为=2cos，故选 A点评：本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某商场调查旅游鞋的销售情况
9、，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为_.参考答案：55% 后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为。12. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 .参考答案：-113. 若，则tan2参考答案：14. 已知，则= .参考答案：15. 在ABC中, ,则cosB=_参考答案：【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得由余弦定理可得故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边
10、以及余弦定理，属于基础题.16. 记二项式展开式中的各项系数和为，二项式系数和为，则=_。参考答案：17. 设函数若f(x)为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为_参考答案： 【分析】首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即，所以，所以，所以切点坐标是，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.三、 解
11、答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由参考答案：解析：（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3； 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ， ， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(
12、2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).19. 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，
13、现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）参考答案：解：（?）由题意可知：。（?）由题意可知：。（?）由题意可知：，因此有当，时，有20. （本小题满分13分）已知函数，在点处的切线方程为.（）求函数的解析式；（）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（）将代入直线方程得，-1分 ， -2分联立，解得 -4分（），在上恒成立；即在恒成立； -5分设，
