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1、辽宁省大连市第一一三中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知( )A B. C. D. 参考答案：A略2. 已知实数满足，证明：.参考答案：证明：证法一，. 2分，即， 4分， 6分即，. 8分略3. 执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（ ）A. B. C. D.参考答案：C4. 已知点M(x，y)在上，则的最大值为( ) A、 B、 C、 D、参考答案：D略5. 设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）APQ
2、 BPQ CPQ D PQ参考答案：A略6. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增，则关于的不等式的解集为（ ） A B C D随的值而变化）（， 参考答案：C略7. 已知，则= A-4 B-2 C0 D2参考答案：A8. 一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（ ）A海里/小时B海里/小时C海里/小时 D海里/小时参考答案：A略9. 建立坐标系用斜二测画法画正ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是()参考答案：C略10. 已知是定义在R上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当
3、时，若，则的取值范围是（ ）A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数中偶数的个数为 （用数字作答）参考答案：48略12. 用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是 参考答案：48013. 在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是 参考答案： 14. 9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是 .参考答案：15. 有下列命题：函数ycos（x+）是奇函数；函数f(x)4sin的表达式可改写为f(x)= 4cos；若、是第一象限角且，则t
4、an tan ；函数ysin（2x+）的图象关于直线x=成轴对称图形. 其中正确的是_（把你认为正确的命题序号都填上） 参考答案：16. 等比数列an中，已知对任意自然数n，a1a2a3an=2n1，则a12a22a32+an2等于 参考答案：17. 已知A、B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为参考答案：100【考点】球的体积和表面积【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，利用三棱锥OABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，
5、三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=，故R=5，则球O的表面积为4R2=100，故答案为：100【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大是关键三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分10分）已知函数,函数当时,求函数的表达式;若,函数在上的最小值是2 ,求的值.参考答案：19. （本小题满分12分）求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点参考答案：【证明】 假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
6、则有三式相加，得a2+b2+c2abacbc0（ab）2+（bc）2+（ca）20a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点20. 参考答案：(1)证明：由条件当-1x1时，|f(x)|1，取x=0得：|c|=|f(0)|1，即|c|1. 4分(2)证法一：依题设|f(0)|1而f(0)=c，所以|c|1.当a0时，g(x)=ax+b在1，1上是增函数，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1).|f(x)|1，(1x1)，|c|1，g(1)=a+b=f(1)c|f(1)|+|c|=2，g(1)=a+b=f(1)+c(|f(1)|+|c|)2，因此得|
7、g(x)|2 (1x1)；当a0时，g(x)=ax+b在1，1上是减函数，于是g(1)g(x)g(1)，(1x1)，|f(x)|1 (1x1)，|c|1|g(x)|=|f(1)c|f(1)|+|c|2.综合以上结果，当1x1时，都有|g(x)|2.(证法二)：|f(x)|1(1x1)|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，f(x)=ax2+bx+c，|ab+c|1，|a+b+c|1，|c|1，因此，根据绝对值不等式性质得：|ab|=|(ab+c)c|ab+c|+|c|2，|a+b|=|(a+b+c)c|a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，|g(1)|=|a+b|=|ab|2，函
8、数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在1，1上的最大值只能在区间的端点x=1或x=1处取得，于是由|g(1)|2得|g(x)|2，(1x1.8分(3)解：因为a0，g(x)在1，1上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)f(0)=2. 1f(0)=f(1)212=1，c=f(0)=1.因为当1x1时，f(x)1，即f(x)f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得0 ，即b=0.由得a=2，所以f(x)=2x21. 12分21. 设函数.（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数在区间
9、0，2上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）要使得不等式0能成立，只需m.求导得，函数的定义域为（1，+），当时0，函数在区间（1，0）上是减函数；当时0，函数在区间（0，+）上是增函数.，m1,故实数m的最小值为1.（2）由得.由题设可得方程在区间0，2上恰有两个相异实根.设.列表如下：x0(0,1)1（1，2）20+1减函数2-21n 2增函数3-21n 32(1ne-1)=0，.从而有.画出函数在区间0，2上的草图，易知要使方程=a在区间0，2上恰有两个相异实根，只需221n 2a321n 3，即.22. 已知椭圆的离心率，且经过点（）求椭圆的方程；（）直线过椭圆的上焦点，交椭圆于，两点，已知，若，求直线的斜率的值参考答案：（1）（2）
