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1、1 类型五相似三角形的存在性问题例 5如图，在平面直角坐标系中，直线ykx1与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C，过点 C 的抛物线 yax252xb 与直线 AC交于点 B（4，3），（1）求抛物线的表达式；例 5题图【思维教练】由直线AB 的解析式 ykx1，并结合图象可知，当x0 时，可求得点 C 的坐标，又因为抛物线过B 点，将两点坐标分别代入yax252xb，即可求得抛物线的解析式. （2）已知点 P 在 x 轴上（点 P 不与 O 点重合），连接CP，若 AOC 与 ACP相似，求点 P的坐标；例 5题图【思维教练】要使 AOC 与 ACP 相似，知 OAC CAP，两三角形中有
2、一条公共边AC.又已知条件中只得到AO，AC 长，可想到设出P 点坐标（ p，0），表示出AP，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似列出比例式，求得 P点坐标 .注意求出的 P 点不能与 O点重合 . 2 （3）若点 Q（m，0），连接 BQ，若 ABQ与 AOC 相似，求出 m 的值；例 5题图【思维教练】由已知Q 点坐标可用 m 表示出 AQ 的长，由于 AOC90 ，且未说明两三角形相似的对应关系，要考虑两种情况： 当 ABQ90 时； 当 AQB90 时，然后利用三角形相似的性质得到对应边成比例，从而列关于m的方程即可求解 . （4）设抛物线的对称轴与BC 相交于点 Q，点 P
3、是抛物线对称轴上的动点，且点 P 不与点 Q 重合，是否存在点P，使得以 P、B、Q 为顶点的三角形与 AOC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例 5 题图3 【思维教练】由已知条件可知 AOC 是直角三角形，所以 BPQ 一定也是直角三角形，故点P一定在点 Q的上方 .在 AOC 和 BPQ中， ACO BQP，所以只需要在 BPQ 中确定一个直角即可 .分两种情况考虑： 当 BPQ90 时；当 QBP90 时，再分别求出点P的坐标 . （5）连接 BO，点 S是抛物线 CB 段上的动点，过S作 SK x 轴，交 BO 于点 K，是否存在点S 使得 AOB SKO，若存在，
4、求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由 . 例 5题图,【思维教练】假设 AOB SKO，得到 ABO SOK，从而得到 OS AB，由（2）可得直线AB 的解析式，再运用OS AB，且 OS 过原点可得到直线OS的解析式，然后与抛物线的解析式联立解方程即可求出点S的坐标 . 答案例 5解：(1) 当 x0 时，由 ykx1，得 y1， C(0，1)， 抛物线 yax252xb 经过点 C(0，1)、B(4，3)，4 ，解得：， 抛物线的表达式为 y34x252x1；(2) 直线 AC 经过点 B(4，3)， 34k1，解得： k12， 直线 AC 的表达式为 y12x1，当 y0时，x2，例
5、 5 题解图 点 A 的坐标为 (2，0)， AO2，CO1，AC5. 设点 P(p，0)，连接 CP， OAC CAP，要使 AOC 与 ACP相似，如解图 ， 若 AOC APC，即ACAOACAP，此时点 P与点 O重合，不符合题意； 若 AOC ACP，则ACAOAPAC，即52p25，解得： p12， 点 P 的坐标为 (12，0)；例 5 题解图 =153=4242bab3=4=1ab4 ，解得：， 抛物线的表达式为 y34x252x1；(2) 直线 AC 经过点 B(4，3)， 34k1，解得： k12， 直线 AC 的表达式为 y12x1，当 y0时，x2，例 5 题解图 点
6、A 的坐标为 (2，0)， AO2，CO1，AC5. 设点 P(p，0)，连接 CP， OAC CAP，要使 AOC 与 ACP相似，如解图 ， 若 AOC APC，即ACAOACAP，此时点 P与点 O重合，不符合题意； 若 AOC ACP，则ACAOAPAC，即52p25，解得： p12， 点 P 的坐标为 (12，0)；例 5 题解图 =153=4242bab3=4=1ab4 ，解得：， 抛物线的表达式为 y34x252x1；(2) 直线 AC 经过点 B(4，3)， 34k1，解得： k12， 直线 AC 的表达式为 y12x1，当 y0时，x2，例 5 题解图 点 A 的坐标为 (2
7、，0)， AO2，CO1，AC5. 设点 P(p，0)，连接 CP， OAC CAP，要使 AOC 与 ACP相似，如解图 ， 若 AOC APC，即ACAOACAP，此时点 P与点 O重合，不符合题意； 若 AOC ACP，则ACAOAPAC，即52p25，解得： p12， 点 P 的坐标为 (12，0)；例 5 题解图 =153=4242bab3=4=1ab4 ，解得：， 抛物线的表达式为 y34x252x1；(2) 直线 AC 经过点 B(4，3)， 34k1，解得： k12， 直线 AC 的表达式为 y12x1，当 y0时，x2，例 5 题解图 点 A 的坐标为 (2，0)， AO2，CO1，AC5. 设点 P(p，0)，连接 CP， OAC CAP，要使 AOC 与 ACP相似，如解图 ， 若 AOC APC，即ACAOACAP，此时点 P与点 O重合，不符合题意； 若 AOC ACP，则ACAOAPAC，即52p25，解得： p12， 点 P 的坐标为 (12，0)；例 5 题解图 =153=4242bab3=4=1ab
