《新高考数学复习知识点讲解与练习61---立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学复习知识点讲解与练习61---立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 / 21 新高考数学复习知识点讲解与练习立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题1翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析和解决问题而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试2在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点
2、的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性3立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积、体积的最值其一般方法有：(1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等求出最值题型一立体几何中的翻折问题【例 1】(2019全国卷)图是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图2 / 21 形，其中 AB1，BEBF2，FBC60 .将其沿
3、AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 . (1)证明：图中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC平面 BCGE；(2)求图中的二面角BCGA 的大小(1)证明由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，所以 AD，CG 确定一个平面，从而A，C，G，D 四点共面由已知得 ABBE，ABBC，且 BEBCB，BE，BC? 平面 BCGE，所以 AB平面 BCGE. 又因为 AB? 平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE. (2)解作 EHBC，垂足为 H. 因为 EH? 平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，平面 BCGE平面 ABCBC，所以 EH平面
4、ABC. 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC60 ，可求得 BH1，EH3. 以 H 为坐标原点，HC的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则 A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG(1，0，3)，AC(2，1，0)设平面 ACGD 的法向量为 n(x，y，z)，3 / 21 则CG n0，AC n0，即x3z0，2xy0.所以可取 n(3，6，3)又平面 BCGE 的法向量可取 m(0，1，0)，所以 cosn，mn m|n|m|32. 因此二面角 BCGA 的大小为 30 . 【训练 1】(2021 浙江名师预测卷四 )在梯形 ABC
5、D 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AD2AB2BC2CD.将BCD 沿 BD 翻折至 BPD，且满足平面 ABP平面 BPD. (1)求证：二面角 PBDA 是直二面角；(2)(一题多解 )求直线 PD 与平面 PAO 所成角的正弦值的大小(1)证明由已知条件易得 BAD60 ，BDA30 ，ABBD. 在BPD 中，过点 D 作 DHBP，交 BP 的延长线于点 H. 平面 ABP平面 BPD，平面 ABP平面 BPDBP，DH平面 ABP，AB? 平面 ABP，DHAB. 又BDDHD，AB平面 BPD，AB? 平面 ABD，平面 ABD平面 BPD. 即二面角 PBDA 是直二
6、面角4 / 21 (2)解法一过点 P 作 PGBD，交 BD 于点 G，则 G 是 BD 的中点由(1)可知平面 PBD平面 ABD，又平面 PBD平面 ABDBD，PG平面 ABD. 设 OB1，则 OP1，OA2，ABBP3，AB平面 BPD，ABBP，APAB2BP26，由余弦定理得 cosAOPOA2OP2AP22OA OP14，则 sinAOP154. 设点 D 到AOP 的距离为 h，VPAODVDAOP，13 PG SAOD13 h SAOP，PG32，SAOD1222 sin 233，SAOP1212154154，h2 155，PD 3，直线 PD 与平面 PAO 所成角 的
7、正弦值 sin hPD2 55. 5 / 21 法二分别取 BD，AD 的中点 E，F，连接 EP，EF，则 EFAB. 由(1)可知 AB平面 BPD，EF平面 BPD，EFBD，EFEP. PBPD，PEBD，以点 E 为坐标原点， EF，ED，EP的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系设 OB1，可得 P0，0，32，D 0，32，0 ，A3，32，0 ，O 0，12，0 . PD0，32，32，PA3，32，32，AO(3，1，0)设平面 PAO 的法向量为 n(x，y，z)，则PA n0，AO n0，即3x32y32z0，3xy0，令 x1，则 n(1， 3， 1
8、)，直线 PD 与平面 PAO 所成角 的正弦值为 sin |cosn，PD|n PD|n| |PD|2 55. 题型二立体几何中的轨迹问题【例 2】 (1)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面 A1B1C1D1垂直，且 ADAB，E 为 CC1的中点， P 在对角面 BB1D1D 所在平面内运动，若EP 与 AC 成 30 角，则点 P 的轨迹为 () 6 / 21 A圆B抛物线C双曲线D椭圆(2)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点P 到直线A1D1的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是
9、() A抛物线B双曲线C椭圆D直线答案(1)A(2)B 解析(1)因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， AA1与平面 A1B1C1D1垂直， 且 ADAB，所以该平面六面体ABCDA1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D底面 ABCD，AC对角面 BB1D1D.取 AA1的中点 F，则 EFAC，因为 EP 与AC 成 30 角，所以 EP 与 EF 成 30 角设 EF 与对角面 BB1D1D 的交点为 O，则 EO对角面 BB1D1D，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底面，故选A. (2)如图，以 A 为原点， AB 为 x 轴、AD 为 y
10、 轴，建立平面直角坐标系设P(x，y)，作PEAD 于 E、PFA1D1于 F，连接 EF，易知|PF|2|PE|2|EF|2x21，又作 PNCD 于 N，则|PN|y1|.依题意 |PF|PN|，即x21|y1|，化简得 x2y22y0，故动点 P 的轨迹为双曲线，选B. 7 / 21 【训练 2】 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是线段 CD，AB 上的动点，点 P 是A1C1D 内的动点 (不包括边界 )，记直线 D1P 与 MN 所成角为 ，若 的最小值为3，则点 P 的轨迹是 () A圆的一部分B椭圆的一部分C抛物线的一部分D双曲线的一部分(2)如图，A
11、B 是平面 的斜线段， A 为斜足，若点 P 在平面 内运动，使得 ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 () A圆B椭圆C一条直线D两条平行直线答案(1)B(2)B 解析(1)延长 D1P 交底面 ABCD 的内部于点 Q，连接 QD，则D1QD 为直线 D1Q 与底8 / 21 面 ABCD 所成的角，也就是直线D1P 与 MN 所成角 的最小值，故 D1QD3，从而DD1Q6，所以 D1Q 的轨迹是以 D1D 为轴，顶点为 D1，母线 D1Q 与轴 D1D 的夹角为6的圆锥面的一部分，则点 P 的轨迹就是该部分圆锥面与A1C1D 面(不包括边界 )的交线，而A1C1D 面所在平面与
12、轴D1D 斜交，故点 P 的轨迹是椭圆的一部分(2)由于线段 AB 是定长线段，而 ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段 AB 的距离也是定值由此可知空间点P 在以 AB 为轴的圆柱侧面上又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段 )得到的切痕是椭圆 P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线是椭圆题型三立体几何中的长度、面积、体积的最值(范围)问题【例 3】 (1)如图，正三棱锥SABC 的底面边长为2a，E、F、G、H 分别为 SA，SB，CB，CA 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 () A(0， ) B.33a2，C.36a2，D.12a
13、2，(2)(2021 “超级全能生 ”联考)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 4 的9 / 21 正方形，侧棱 AA1t(t4)，点 E 是 BC 的中点，点 P 是侧面 ABB1A1内的动点 (包括四条边上的点 )，且满足 tan APD4tan EPB，则四棱锥 PABED 的体积的最大值是 () A.4 33B16 3 C.16 33D.64 39答案(1)B(2)C 解析(1)因为 E、F、G、H 分别为 SA，SB，CB，CA 的中点， EF 綉12AB，HG 綉12AB，EF 綉 HG，同理， EH 綉 FG，所以 EFGH 为平行四边形，又 SABC
14、 为正三棱锥，SCAB，EFAB，FGSC，所以 EFFG，从而四边形 EFGH 为矩形，其面积 SGH GF12a SC，当正三棱锥的高 0 时，SC正三角形 ABC 的外接圆的半径2 33a，所以四边形 EFGH 的面积 33a2，选 B. (2)作 PFAB，垂足为点 F，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DA平面 ABB1A1，CB平面 ABB1A1，在 RtPAD 和 RtPBC 中，所以 tan APDADAP，tan EPBBEPB.因为 tan APD4tan EPB，BE12BC12AD，所以 PB2AP.因为平面 ABB1A1平面 ABCD，平面 ABB1A1平面 AB
15、CDAB，PFAB，所以 PF平面 ABCD.设 PFh，AFx，则BF4x，x0，4，由 PB2AP，得 h2(4x)24(x2h2)，即 h2x283x163.因为函数 yx283x163在0， 4上单调递减，所以当 x0 时，(h2)max163， 即 hmax4 33，所以四棱锥PABED 的体积的最大值 (VPABED)max1312(24)44 3316 33，故选 C. 10 / 21 【训练 3】 (1)在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 BC 中点，点 P 是平面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足APDMPC，则三棱锥 PBCD 体积的最大值是()
16、 A36 B12 3 C24 D18 3 (2)(2021 镇海中学模拟 )已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1，球 O 与正方体的各条棱相切， P 为球 O 上一点， Q 是AB1C 的外接圆上的一点，则线段PQ 长的取值范围是_答案(1)B(2)322，322解析(1)因为 AD平面 D1DCC1， 则 ADDP， 同理 BC平面 D1DCC1， 则 BCCP， APDMPC，则PADPMC，AD2MC，则 PD2PC，下面研究点P 在面 ABCD的轨迹 (立体几何平面化 )，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，D1(0，6)，C1(6，6)，设 P(x，y)，因为 PD2PC，所以x2y22 （x6）2y2，化简得 (x8)2y216，该圆与 CC1的交点纵坐标最大，交点为 (6，2 3)，三棱锥 PBCD 的底面 BCD 的面积为 18，要使三棱锥PBCD 体积最大，只需高最大，当P 在 CC1上且 CP2 3时棱锥的高最大， V13 18 2 312 3. (2)因为球 O与正方体的各条棱相切， 所以球心 O为正方体的中心，切点为各条棱的中点，则易得
