河南省郑州市第九中学高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间[－3,7]上所有零点之和为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 12参考答案：C【分析】根据函数的奇偶性和对称性，判断出函数的周期，由此画出的图像.由化简得，画出的图像，由与图像的交点以及对称性，求得函数在区间上所有零点之和.【详解】由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点(2,0)对称，它们两个函数图像的4个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2. （4分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（） A． 2 B． ﹣ C． 3 D． 参考答案：考点： 循环结构． 专题： 函数的性质及应用．分析： 根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论．解答： 根据题意，本程序框图为求S的值第一次进入循环体后，i=1，S=；第二次进入循环体后，i=2，S=﹣；第三次进入循环体后，i=3，S=3第四次进入循环体后，i=4，S=；退出循环故选D．点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．3. 在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，﹣1，﹣4） D．（2，1，﹣4）参考答案：C【考点】空间中的点的坐标．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣1，﹣4）．故选：C． 4. 下列函数中，在R上既是奇函数又是减函数的是（）A： B： C： D：参考答案：CA选项,在R上不保证一直单调递减,故错误.B选项,定义域满足,故定义域不是R,故错误.C选项,,故为奇函数,对于,故为单调递减,对于,故为单调递减,对于,故为单调递减,所以在R上为减函数,故正确.D选项,不满足奇函数的判定,故选C. 5. 设，是方程的两个实根，则的最小值为（ ）． A． B． C． D．参考答案：D∵，是方程的两个根，∴即，且：，，∴，故选．6. 已知是第四象限的角，若，则的值为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：D7. 为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点（ ）A.横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度参考答案：A略8. 若关于x的不等式无解，则实数a的取值范围是 ( )A. B. C. D. 参考答案：A关于的不等式无解，而需要不超过的最小值．又表示到数轴上的距离．表示到的距离，如图所示，∴的最小值为，∴，故选． 9. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，且满足．若点O是△ABC外一点，，，平面四边形OACB面积的最大值是（ ）．A. B. C. 3 D. 参考答案：A由，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，设该三角形的边长为a，则：a2=12+22﹣2×2×cosθ．则SOACB=×1×2sinθ+a2=sinθ+（12+22﹣2×2cosθ）=2sin（θ﹣）+，当θ=时，SOACB取得最大值．故选：B．点睛：四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果.10. （5分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（） A． ﹣3 B． ﹣ C． 3 D． 参考答案：C考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的求值．分析： 由两角和与差的正切函数公式化简已知，代入tanβ=，即可求值．解答： ∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．点评： 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ,,若,则 .参考答案：略12. 若集合，集合，则___________；参考答案：13. 数列的前项和，则 参考答案：48略14. 如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，有以下说法：①9：00～10：00匀速行驶，平均速度是10千米/时；②10：30开始第一次休息，休息了1小时；③11：00到12：00他骑了13千米；④10：00～10：30的平均速度比13：00～15：00的平均速度快；⑤全程骑行了60千米，途中休息了1.5小时．离家最远的距离是30千米；以上说法正确的序号是 ． 参考答案：① ③ ⑤15. 执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 ．参考答案：3【考点】EF：程序框图．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．16. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x1234用水量y4.5432.5由其散点图知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋a，则a＝________. 参考答案：5.2517. 设是以4为周期的偶函数,且当时, ,则 参考答案：0.4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知(1)化简；(2)求满足的的取值集合.参考答案：(1) ；(2) .【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用二倍角正弦公式得到最终结果；（2）由可知，；解不等式得到解集.【详解】（1）由题意得：（2）由（1）得： ，解得：【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式化简、根据三角函数值域求解角的范围的问题，考查学生对于公式和函数图象的掌握.19. （15分）对于定义域为的函数f（x），若同时满足以下三个条件：①f（1）=1； ②x∈，总有f（x）≥0； ③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．（Ⅱ）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈）和函数（x∈）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．（Ⅲ）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈，使f（x0）∈，且f=x0，求证：f（x0）=x0．参考答案：考点： 抽象函数及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域． 专题： 新定义．分析： （I）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0（II）要判断函数g（x）=2x﹣1，（x∈）在区间上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，（x∈是否满足题目中的三个条件（III）由条件③知，任给m、n∈，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．解答： （I）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0由已知?x∈，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，∴f（0）=0（II）显然g（x）=2x﹣1在上满足g（x）≥0；②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有g（x1+x2）﹣=﹣1﹣=（﹣1）（﹣1）≥0故g（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以g（x）=2x﹣1为理想函数．对应函数在x∈上满足①h（1）=1； ②?x∈，总有h（x）≥0； ③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如=x2时，h（x1+x2）=h（1）=1，而h（x1）+h（x2）=2h（）=，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．（III）由条件③知，任给m、n∈，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f=x0，前后矛盾；若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f=x0，前后矛盾．故f（x0）=x0．点评： 采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法，而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究，本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用，指数函数的单调性的应用．20. 如图，菱形的边长为6，，，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：．（2）求证：．（3）求三棱锥的体积．参考答案：（）证明见解析;（）证明见解析;（）．分析：（1）由题可知分别为中点，所以，得平面. （2）由已知条件结合勾股定理得，又因为四边形为菱形得，所以平面，证得平面平面． （3）由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，从而得三棱锥的体积.详解：（）证明：∵点是菱形的对角线交点，∴是的中点，又∵点是棱的中点，∴是的中位线，，∵平面，平面，∴平面．（）证明：由题意，∵，∴，，又∵菱形中，，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（）∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积由（）知平面，∴是三棱锥的高，，∴．21. (本小题满分12分) 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的值域. 参考答案：略22. 已知函数.（1）当a=2，求函数f(。