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1、第七章立体几何第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积本节主要包括3个知识点：1.空间几何体的三视图和直观图；2.空间几何体的表面积与体积；3.与球有关的切、接应用问题.突破点(一)空间几何体的三视图和直观图 1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线
2、或等腰梯形上下底中点的连线球半圆或圆直径所在的直线2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图(2)三视图的画法在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图
3、中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半1判断题(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)棱台各侧棱的延长线交于一点()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(4)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()2填空题(1)如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号)(2)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的形状为_(3)已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体从上往下依次由_构成(4)利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰
4、梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_空间几何体的结构特征例1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0B1 C2D3方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题易判断失误；(3)通过反例
5、对结构特征进行辨析空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽2三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方例2(1)正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()(2)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A3B2C2D2方法技巧有关三视图问题的解题方法(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚
6、线画；画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征(2)由几何体的部分视图画出剩余视图的方法先根据已知的部分视图推测直观图的可能形式，然后推测其剩余视图的可能情形，若为选择题，也可以逐项检验(3)由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图S原图形(2)S原图形2S直观图例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是() 1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，
7、四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为() 4.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2B4 cm2 C8 cm2D
8、8 cm25.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A1B2 C3D4突破点(二)空间几何体的表面积与体积 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31判断题(1)锥体的体积等
9、于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(3)球的体积之比等于半径比的平方()2填空题(1)已知圆柱的底面半径为a，高为a，则此圆柱的侧面积等于_(2)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为_(3)已知圆锥的母线长是8，底面周长为6，则它的体积是_(4)正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为_(5)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_空间几何体的表面积例1(1)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个直角三角形，一个锐角为30，则该几何体的表面积为()A2412 B
10、245C1215 D1212(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A(253)B(253)C(293)D(293)方法技巧求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系
11、例2(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60B30 C20D10(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B8 C.D9方法技巧求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解1.某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(
12、)A2B3 C4D62.如图是某几何体的三视图，其正视图、侧视图均是直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为()A3B4 C5D123.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3 C.1 D.34.如图，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_5考点二中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为_突破点(三)与球有关的切、接应用问题 与
13、球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.多面体的内切球问题例1(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.方法技巧处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住
