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1、第十一章推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点：1.合情推理；2.演绎推理.突破点(一)合情推理类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊1判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()答案：(1)(2)(3)
2、2填空题(1)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an_.解析：a11，a24，a39，a416，猜想ann2.答案：n2(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的_推理答案：类比(3)观察下列不等式：1；.则第5个不等式为_答案：归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验类型(一)与数字有关的推理例1(1)给出以下数对
3、序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第i行的第 j 个数对为aij，如a43(3,2)，则anm()A(m，nm1)B(m1，nm)C(m1，nm1)D(m，nm)(2)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*，则12n21_.解析(1)由前4行的特点，归纳可得：若anm(a，b)，则am，bnm1，anm(m，nm1)(2)由112,121422,12321932，12343211642，归纳猜想可得12n21n2.答案(1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，
4、寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等易错提醒类型(二)与式子有关的推理例2(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.(2)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN*)，则a_.解析(1)观察前4个等式，由归纳推理可知2222n(n1).(2)第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.答案(1)(2)nn方法技巧与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理观察每个等式的特点，找出等式左
5、右两侧的规律及符号后可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解类型(三)与图形有关的推理例3某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A21B34 C52D55解析因为211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.答案D方法技巧与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方
6、法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长空间线面球三棱锥二面角体积表面积例4如图，在ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与CEF的周长相等试将此结论类
7、比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性解如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等下面证明该结论的正确性，设内切球半径为R，则VABEFD(SABDSABESADFS四边形BEFD)RVAEFC(SAECSACFSECF)R，即SABDSABESADFS四边形BEFDSAECSACFSECF，两边同加SAEF可得结论方法技巧类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事
8、物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1B2 C3D4解析：选B正确，错误2.在平面几何中有如下结论：
9、正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A.B. C.D.解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.3.将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k行有k个奇数)，其中第i行第j个数表示为aij，例如a4215，若aij2 017，则ij()135791113151719A26B27C28D29解析：选A前k行共有奇数为123k个，所以第k行的最后一个数为21k2k1，第k1行的第一个数为k(k1)1，当k145时，k(k1)1444511 981，即第45行的第一个数为1 98
10、1，因为18，所以2 017是第45行的第19个数，即i45，j19，所以ij451926.故选A.4考点一类型(二)观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2 B.2C.2 D.2解析：选A各等式可化为2，2；2，2，可归纳得一般等式：2，故选A.5.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数则f(4)_，f(n)_.解析：因为f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(4)1
11、6121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案：373n23n1突破点(二)演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理1判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案：(1)(2)2填空题(1)下列说法：演绎推理是由
12、一般到特殊的推理；演绎推理得到的结论一定是正确的；演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略其中正确的有_个解析：易知正确答案：3(2)推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；所以三角形不是矩形”中的小前提是_(填序号)答案：演绎推理典例数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提)所以4(n2)，即Sn14(n1)4Sn14an(n2)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)方法技巧演绎推理的推证规则(1)
