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1、河南省周口市马铺中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数Z=1i 的虚部是( )(A).i (B) i (C) 1 (D)1参考答案：B由复数虚部定义：复数的虚部为，得的虚部为，故选.2. 已知变量x，y满足，则的取值范围为（）A0，B0，+）C（，D，0参考答案：D【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示ABC，设Q（3，0）平面区域内动点P（x
2、，y），则=kPQ，当P为点A时斜率最大，A（0，0），C（0，2）当P为点C时斜率最小，所以，0故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，掌握所求表达式的几何意义是解题的关键3. 已知，则是函数为偶函数的 （ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 已知集合，若集合有且仅有一个元素，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案：B略5. 函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为A(, 2) B(, 2) C(2,+) D(2,+)参考答案：A6. 下列命题是真命题的为A若,则 B若,则C若,则 D若,则 参考答案：A7. 已知
3、抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A20B16C10D5参考答案：A【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（1，a），B（m，n），且n2=8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得【解答】解：由抛物线C：y2=8x，可得F（2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=8m，1+2=3（m+2），m=3，n=2，a=3n，a=6，|AB|=20故选：A【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题8. 已知集合，则AB=（ ）A1,0 B0 C1 D参考
4、答案：C9. 已知函数f（x）=ax2+bx+1，其中a2，4，b1，3，从f（x）中随机抽取1个，则它在（，1上是减函数的概率为（）ABCD0参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；函数单调性的判断与证明【分析】写出所有基本事件（a，b）的取法，求出满足f（x）在区间（，1上是减函数的（a，b）的个数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率；【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1，其中a2，4，b1，3，从f（x）中随机抽取1个，基本事件总数n=22=4，即f（x）共有四种等可能基本事件，分别为（a，b）取（2，1）（2，3）（4，1）（4，3），记事件A为“f（x）在区
5、间（，1上是减函数”，由条件知f（x）开口一定向上，对称轴为x=，事件A共有三种（2，1）（4，1）（4，3）等可能基本事件，则P（A）=f（x）在区间（，1上是减函数的概率为故选：B10. 已知，则是的（ ）。A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙等五名志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，则的数学期望为 参考答案：12. 设函数，则满足的的取值范围是_参考答案：13. 已知长方体的三条棱长分别为，并
6、且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为_参考答案：14. 在等差数列中，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为 参考答案：5略15. 若一个正方形的四个顶点都在双曲线上，且其一边经过的焦点，则双曲线的离心率是 参考答案：16. 已知中，内角的对边的边长为，且,则的最小值为参考答案：1/2略17. 已知四棱锥的所有顶点都在球的表面上,顶点到底面的距离为1,若球的体积为,则四棱锥体积的最大值为.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在数列中，.（1）证明是等差数列；（2）求数列的前项和.参考答案：（）因为 ，所以
7、数列是首项为，公差为的等差数列 ； （）由（）知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即，所以，易知数列是首项为，公比为的等比数列，所以 19. （本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”（1）设，判断、是否为“摆动数列”，并说明理由；（2）设数列为“摆动数列”，求证：对任意正整数，总有成立；（3）设数列的前项和为，且，试问：数列是否为“摆动数列”，若是，求出的取值范围；若不是，说明理由.参考答案：解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时，则，取时，则，显
8、然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”；2分而数列是“摆动数列”，.由，于是对任意成立，所以数列是“摆动数列”.4分（2）由数列为“摆动数列”，即存在常数，使对任意正整数，总有成立.即有成立.则，6分所以，7分同理，8分所以.9分因此对任意的，都有成立.10分（3）当时，当时，综上，12分即存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列”；14分当为奇数时递减，所以，只要即可，当为偶数时递增，只要即可.15分综上.所以数列是“摆动数列”，的取值范围是.16分略20. 已知实数满足，设函数（1）当时，求的极小值；（2）若函数（）的极小值点与的极小值点相同求证：的极大值小于等于参考答案：（）
9、 解: 当a2时，f （x）x23x2（x1）（x2）列表如下：x（，1）1（1，2）2（2，）f （x）00f （x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f （x）极小值为f （2） （） 解：f （x）x2（a1）xa（x1）（xa）g （x）3x22bx（2b4）令p（x）3x2（2b3）x1，（1） 当1a2时，f （x）的极小值点xa，则g（x）的极小值点也为xa，所以pA0，即3a2（2b3）a10，即b，此时g（x）极大值g（1）1b（2b4）3b3 由于1a2，故 2（2） 当0a1时，f （x）的极小值点x1，则g（x）的极小值点为x1，由于p（x）0有一正一负两实根，
10、不妨设x20x1，所以0x11，即p（1）32b310，故b此时g（x）的极大值点xx1，有 g（x1）x13bx12（2b4）x1lnx11bx12（2b4）x1（x122x1）b4x11 （x122x10）（x122x1）4x11x12x11（x1）21 （0x11）综上所述，g（x）的极大值小于等于 略21. 已知，或1，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数（）令，存在m个，使得，写出m的值；（）令，若，求证：；（）令，若，求所有之和参考答案：解：（）； 3分（）证明：令，或1，或1；当，时，当，时，当，时，当，时，故 8分（）解：易知中共有个元素，分别记为的共有个，的共有个= 13
11、分=法二：根据（）知使的共有个=两式相加得 =略22. （本题12分）已知在四棱锥中，侧面底面，为中点，.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值。参考答案：（）证明：，为中点 侧面底面，侧面，侧面底面底面 底面 在中，在中，在直角梯形中，即是以为直角的直角三角形，当然有是平面内的两条相交直线平面6分（）解法一：如图建立空间直角坐标系，则，假设平面的一个法向量为，平面的法向量为则由可得，取，得，即，由可得，取，得，即 故二面角的余弦值为.12分解法二：过点作于点，过点作于点，连接。则由于平面，平面，所以平面平面，平面，平面平面，平面， ，平面，即是二面角的平面角。在中，在中，所以，所以故二面角的余弦值为。12分
