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1、2020年安徽省池州市东至县大渡口新庭中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） 参考答案：A2. 若，则，大小关系是（ ）A. B C. D参考答案：A3. “”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 下列四个函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D.参考答案：B略5. 已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD参考答案：B【考点】简单线
2、性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n1，2的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案【解答】解：根据题意，向量，=（3m+n，m3n），则=，令t=，则=t，而m+n1，2，即1m+n2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：t2，又由=t，故2；故选：B【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式6. 已知是实数，则“
3、”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B略7. 设函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则等于（ ）A. 13 B. 5 C. D. 参考答案：B8. 已知向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：B充分性：若，则与同向或反向，所以或，故充分性不成立；必要性：若，则与同向平行，即，所以必要性成立。故“”是“”的必要不充分条件。9. 已知在ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，+=，若|=4，|=2，SAPQ=，则的值为（）A4B4C4D4参考答案：D【
4、考点】平面向量数量积的运算【分析】由及即可得出点P为AC中点，点Q为靠近点B的AB的三等分点，从而可求出然后根据即可求出cosA=，从而便可求出的值【解答】解：；P为AC中点；由得，；Q为靠近B的AB的三等分点，如图所示：，；=；=故选D【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式10. 右图是函数图象的一部分为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx(xR)的图象上所有的点A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的
5、横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若都是正数，且，则的最小值为 .参考答案：12. 已知曲线的极坐标方程为（，），曲线在点处的切线为，若以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则的直角坐标方程为 参考答案：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线点,因为点在圆上,故圆在点处的切线方程为,故填.13. .直线与圆：交于两点A，B，当最大时，的最小值为 参考答案： 解：由已知，圆方程化为,所以圆心为，当最大时，直线经过圆心，所以，即，即所以当且仅当
6、且时取等号，所以的最小值为.14. 函数f（x）=1+的最大值与最小值之和为 参考答案：2【考点】三角函数的最值【分析】把已知等式变形，利用辅助角公式化积，然后利用三角函数的有界性转化为关于y的不等式求解【解答】解：由y=f（x）=1+，得sinx（y1）cosx=2（y1），即sin（x）=（tan=y1），由|1，得3y26y+20，解得：函数f（x）=1+的最大值与最小值分别为，和为2故答案为：215. 已知，与的夹角为，要使与垂直，则=_ 参考答案：2略16. 已知数列的通项公式为，其前 n项和为，则在数列中，有理数项的项数为_参考答案：略17. 已知角的终边经过点，则 ；参考答案：三
7、、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ADCD，AB/CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C重合。（1）当点M是EC中点时，求证：BM/平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥MBDE的体积. 参考答案：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系则的一个法向量，。即 .4分（2）依题意设，设面的法向量则，令，则，面的法向量，解得10分为EC的中点，到面的距离 12分另解：用传统方法证明相应给分。19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假
8、设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元（）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望
9、与方差；BB：众数、中位数、平均数【分析】（）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数（）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望（）利用（）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费【解答】解：（）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：=（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）=36，众数为33（）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34时，X=136元，当a35时，X=354+（a35）7元，X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X=136）=，P（X=1
10、47）=，P（X=154）=，P（X=189）=，P（X=203）=，X的分布列为：X136147154189203P=（）根据图中数据，由（）可估算：甲公司被抽取员工该月收入=364.530=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.530=4965元20. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小值；（2）已知，求证：。参考答案：（1）又 故在上为增函数的最小值为（2） 由（1）得 即即（*）下面证明又 即由（*）式得，即得证.21. 已知函数，.（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数f(x)的极值；（2）若函数的图象恒在直线的下方.求m的取值范围；求证：对任意正整数，都有.参
11、考答案：（1）极大值为，无极小值；（2）；见解析.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求，然后结合单调性可求极值；（2）由已知可得对任意的恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；结合可得对任意的恒成立，赋值，可得，然后结合对数的运算性质可求【详解】（1），由已知可得，解得.则，其中.令，得.当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以，函数的极大值为，无极小值；（2）由条件知，只需，即对任意的恒成立，即，其中，令，则，即，构造函数，则，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所
12、以，因此，实数的取值范围是；由可知，当时，对任意的恒成立，令，则，所以，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.22. 已知函数（）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；（）ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，求边长c的值参考答案：【考点】三角函数的最值；三角形中的几何计算【分析】（）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即可求出，（）先求出C的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出【解答】解：（）f（x）=sinxcos（x+）+1=cosxsinxsin2x+1=sin2xcos2x=sin（2x）+，sin（2x）+=，最大值为，当2x=+2k时，即x=k+，kZ，即x|x=k+，kZ时，函数取的最大值，（）f（C）=sin（2C）+=，即sin（2C）=1，C=，?=12，?=|?|cos=2a=12，a=12，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC=144+42122=124，c=2
