《2022年链式法则一般形式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年链式法则一般形式（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年链式法则一般形式 式 链式法则的一般形式 若 u = f (x 1 , x n ), x i = j i (t 1 , t m ), (i = 1, , n), 则=nit i x tj i jx u u1) ( , 即=ni jii jtxxutu1(j = 1, , m). 总之, 复合函数对自变量的偏导数 等于全部对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和. 特例: ( t ) = f ( tx ) = f ( tx 1 , tx n ), ( t ) = x 1 D 1 f ( tx ) + + x n D n f ( tx ). *( 齐次函数的 Euler 公式
2、) (p.123.6 对三元函数) 若存在 k 使 f : R R n n →R R满意 f ( tx ) = t k f ( x ) ( t > 0, x ∈R R n n . 书上的定义中 k > 0, t ∈R R), 则称 f 为 k 次齐次函数. 证明: 可微函数 f 是 k 次齐次函数 x 1 D 1 f + + x n D n f ( = (grad f , x ) = kf . (*) 证 f ( tx ) = t k f ( x ). 两端对 t 求导, 得 x 1 D 1 f ( tx ) + + x n D n f ( tx )
3、= k t k1 f ( x ). 令t = 1 得(*). 设 ( t ) = f ( tx ) / t k , ( 即证 ( t ) = f ( x ). 由 (1) = f ( x ), 只要证 ( t ) = (1), 即 证 常值), 则 可微, ( t ) =kt 21( t k ( x 1 D 1 f ( t x ) + + x n D n f ( t x ) k t k1 f ( x ) ) =11+ kt ( t x 1 D 1 f ( tx ) + + tx n D n f ( tx ) k f ( tx ) ( 以 tx i 代条件(*)中的 x i ) = 0, 故 常
4、值, ( t ) = (1) = f ( x ), f ( tx ) = t k f ( x ). *Euler 公式的应用. (1) 证明 u = x f (xy) + y g (xy) 满意 x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0. (2) p.143.3(2). 解 (1) ( u 是一次齐次函数) 用两次 Euler 公式. (2) u 是 1 + 2 + ( n 1) = ½ n ( n + 1)次齐次函数. 补充练习 u = x 3 sin y + y 3 sin x , 求3 36y xu . ( 6 (cos x + cos y )
5、 u = e xyz , 求 u xyz . ( e xyz (1 + 3 xyz + x 2 y 2 z 2 ) u = ( x a ) p ( y b ) q , 求q pq py xu +. ( p ! q !) u =y xy x-+, 求q pq py xu +. (1) () ( ! ) 1 ( ) 1 ( 2+ +-+ - + -q ppy xpy qx q p) 证明 z = x n f (2xy)满意方程 x z x + 2 y z y = nz . 证明 z = y f ( x 2 y 2 )满意方程 y 2 z x + xy z y = xz . 已知 u =121x 4
6、 61x 3 ( y + z ) +21x 2 yz + f ( y x , z x ), 化简 u x + u y + u z . ( xyz ) 证明 u = ( x at ) + ( x + at ) 满意 u tt = a 2 u xx . 证明 u = x ( x + y ) + y ( x + y )满意 u xx 2 u xy + u yy = 0. 设 u = ln x , v = ln ( y +21 y + ), 以 u , v 为自变量变换方程 x z x +21 y + z y = xy . ( z u + z v = e u sh v ) 设 x = r cos ,
7、y = r sin , 变换 (1) x u y y u x ; (2) x u x = y u y ; (3) x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy . ( (1) u ; (2) r u r ; (3) r 2 u rr .) 设 x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos , 变换 u x 2 + u y 2 + u z 2 . ( u r 2 + r 2 u 2 + ( r sin ) 2 u 2 ) 七. 方向导数与梯度 偏导数是函数沿坐标轴方向的改变率, 方向导数是函数沿随意方向的改变率. 设 f : D ( R R
8、 n n )→R R, a ∈ D °, l 为方向(| l | = 1) 若极限ta f tl a ft) ( ) (lim0- +存在, 则称 之为 f 在 a 沿方向 l 的 方向导数, 记为 D l f ( a ), f l ( a ), ) (alf,a lf等. 若记 g ( t ) = f ( a + t l ), 则 D l f ( a ) = g (0). 设 l = ( l 1 , l n ), a = ( a 1 , a n ), 则 g ( t ) = f ( a + t l ) = f ( a 1 + tl 1 , a n + tl n )
9、. 由链式法则( u = f ( x ), x = a + t l ), 当 f 在 a 可微时, g ( t ) = l 11 xf ( a + t l ) + + l nn xf ( a + tl ), f l ( a ) = l 11 xf ( a ) + + l nn xf ( a ). 因此, 若设 grad f ( a ) = (1 xf ( a ), ,n xf ( a ) ( = ( D 1 f ( a ), D n f ( a ), 则 f l ( a ) = grad f ( a ) l ≤|grad f ( a )|, 等号 grad f ( a ) = cl ,
10、即 l =| ) ( |) (a gradfa gradf. 称 grad f ( a )为 f 在 a 处的 梯度(向量). 这证明白下列 命题 若 f 在 a 可微, 则 f 沿任何方向的导数都存在, 且 f l ( a ) = grad f ( a ) l . 方向导数沿梯度方向达到最大值|grad f ( a )|, 沿梯度相反方向达到最小值 | grad f ( a )|. (换言之, 沿梯度方向, 函数的改变率最大.) 特例: 偏导数. 取 l = e i = (0, , 0, 1, 0, , 0), 有 grad f ( a ) l =i xf ( a ). 二元: l = (cos , sin ). 三元: l = (cos , cos , cos ). n 元: l = (cos ( l , x 1 ), cos( l , x n ). 注 1 全部方向导数存在(称为 弱可微) 连续. 例 =+=). 0 , 0 ( ) , ( , 0), 0 , 0 ( )
