《高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关文北师大版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第第 8 8 讲讲 正弦定理和余弦定理的应用举例正弦定理和余弦定理的应用举例 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等， 灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 解析：选 D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80. 2(2016郑州模拟)已知A、B两地间的距离为 10 km，B、C两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为( ) A10 km B10 3 km C10 5 km D10 7 k
2、m 解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得： AC210040021020cos 120700， 所以AC10 7(km) 3(2016唐山模拟)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则 cosDAC( ) A.1010 B.3 1010 C.55 D.2 55 解析： 选 B.由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2 AC22ADACcosDAC，所以a2( 2a)2( 5a)22 2a 5acosDAC，所以cosDAC3 1010. 4(2016淮北质检)如图，两座相距 60 m 的建筑物AB，CD的高度分别为 20 m、50 m，BD为水
3、平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( ) A30 B45 C60 D75 解析：选 B.依题意可得AD20 10(m)，AC30 5(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD22ACAD （30 5）2（20 10）2502230 520 10 6 0006 000 222， 又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45. 第 4 题图 第 5 题图 5如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头A驶到码头
4、B所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( ) A8 km/h B6 2 km/h C2 34 km/h D10 km/h 解析：选 B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin 0.6135，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得v6 2. 6 (2014高考四川卷)如图， 从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( ) A240( 31)m B180( 21)m C120( 31)m D30( 31)m 解析： 选 C.如图，在
5、ACD中，CAD903060，AD60 m， 所以CDADtan 60 60 3(m) 在ABD中，BAD907515， 所以BDADtan 1560(2 3)(m) 所以BCCDBD60 360(2 3) 120( 31)(m) 7一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔P的南偏西 75，距塔 68 海里的M处，下午 2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时 解析：由题意知，在PMN中，PM68 海里，MPN7545120，MNP45. 由正弦定理， 得MNsin 12068sin 45， 解得MN34 6海里， 故这只船航行的速度为34 64海里/小时17 62海
6、里/小时 答案：17 62 8某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东 75方向上，则点B与电视塔的距离是_km. 解析：由题意知AB2415606，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知BSsin 30ABsin 45， 所以BSABsin 30sin 453 2. 答案：3 2 9(2016佛山一模)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A
7、、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD2，CE2 3，D45，ACD105，ACB48.19， BCE75， E60， 则A、B两点之间的距离为_.cos 48.19取23 解析：依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得ACCDsin 45sin 302 2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BCCEsin 60sin 453 2， 在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10， 所以AB 10，即A、B两点之间的距离为 10. 答案： 10 10(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M
8、点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m. 解析：根据图示，AC100 2 m. 在MAC中，CMA180756045. 由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m. 在AMN中，MNAMsin 60， 所以MN100 332150(m) 答案：150 11(2016贵阳监测考试) 如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，cos B33. (1)求ACD的面积； (2)若BC2 3，求AB的长 解：(1)因为D2B，cos B33， 所以 cos Dcos 2B2cos2B113.
9、因为D(0，)， 所以 sin D 1cos2D2 23. 因为AD1，CD3， 所以ACD的面积S12ADCDsin D12132 23 2. (2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos D12， 所以AC2 3. 因为BC2 3，ACsin BABsinACB， 所以2 3sin BABsin（2B）ABsin 2BAB2sin Bcos BAB2 33sin B，所以AB4. 1(2016石家庄模拟)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB2，BC4，CD5，DA3，则四边形ABCD面积S的最大值为( ) A.
10、30 B2 30 C6 30 D4 30 解析：选 B. 连接AC，则AB2BC22ABBCcos BAD2DC22ADDCcos D，即 2016cos B3430cos D，化简得 15cos D8cos B7，则S四边形ABCDSABCSADC12(8sin B15sin D) 令 8sin B15sin Dt，则t264sin2B225sin2D240sin Bsin D，又(15cos D8cos B)249，则 64cos2B225cos2D240cos Bcos D49，两式相加得 289240cos(BD)t249， 即t2240240cos(BD)480， 当BD时，tmax
11、4 30， 所以S四边形ABCD2 30， 故选 B. 2如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 30，已知摄影爱好者的身高约为 3米(将眼睛S距地面的距离SA按 3米处理) (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB； (2)立柱的顶端有一长为 2 米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值？若存在，请求出MSN取最大值时 cos 的值；若不存在，请说明理由 解：(1) 如图，作SCOB于点C，连接MS，NS，依题意CSB3
12、0，ASB60. 又SA 3，故在 RtSAB中，可求得ABSAtan 303 米，即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为 3 米 在 RtSCO中，SC3，CSO30，OCSCtan 30 3，又BCSA 3，故OB2 3米，即立柱的高度OB为 2 3米 (2)存在因为 cosMOScosNOS， 所以MO2SO2SM22MOSONO2SO2SN22NOSO， 于是得SM2SN226，从而 cos SM2SN2MN22SMSNSM2SN2MN2SM2SN21113. 又MSN为锐角， 故当视角MSN取最大值时，cos 1113. 3. 如图，经过村庄A有两条夹角为 60的公路AB，AC，根据规划
13、拟在两条公路之间的区域内建一工厂P， 分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)， 要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN. (1)将AN，AM用含的关系式表示出来； (2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)？ 解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得MNsin 60 ANsin AMsin（120）， 所以AN4 33sin ，AM4 33sin(120)4 33sin(60) (2)在AMP中， 由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMP163sin2(60)416 33sin(60)cos(60) 831cos(2120)8 33sin(2120)4 83 3sin(2120)cos(2120)203 203163sin(2150)，(0，120)， 当且仅当 2150270， 即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.
