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1、2020年福建省福州市私立育英中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设R且满足，则的最小值等于 （A） （B） （C） （D）参考答案：B略2. 自点 的切线，则切线长为 （ ）A. B. 3 C. D. 5 参考答案：B略3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A B C D参考答案：B略4. 已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，则有如下说法：当时，使为直角三角形的点有且只有4个；当时，使为直角三角形的点有且只有6个；当时，使为直角三角形的点有且只有8
2、个；以上说法中正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D3参考答案：D考点：椭圆的几何性质【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程及其简单的几何性质，椭圆的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，本题的解答中，根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角的取值范围是解答的关键，属于中档试题5. 函数的导函数的简图如右，它与轴的交 点是（1,0）和（3,0），则函数的极小值点为（ ）A1 B 2 C3 D不存在参考答案：C略6. 设函数，则的值为（ ）A B C D参考答案：C7. 某战士在打靶中，连续射
3、击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）. 两次都不中 . 至多有一次中靶 .两次都中靶 .只有一次中靶 参考答案：A“至少有一次中靶”：一次中靶一次不中靶或两次都中靶8. 设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：C9. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）参考答案：A10. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D. 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点A（1.0），B（1，0），若圆 （x2）2+y2=r2上存在点P，使得APB=90，则实数r的取值范围为 参考答案
4、：（1，3）【考点】点与圆的位置关系 【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为2，由两圆相交的性质可得|r1|2|r+1|，由此求得r的范围【解答】解：根据直径对的圆周角为90，结合题意可得以AB为直径的圆和圆 （x2）2+y2=r2有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为2，故|r1|2|r+1|，求得1r3，故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题12. 已知F1，F2为椭圆（）的左、右焦点，若椭圆
5、上存在点P使（c为半焦距）且为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 参考答案：根据焦半径的范围得到又因为为锐角，故根据余弦定理得到 综上得到离心率的取值范围是.故答案为：。13. 已知函数时，则下列结论正确的是 。 ； ； ； 参考答案：14. 两个等差数列则-=_.参考答案：15. 某班50名学生的某项综合能力测试成绩统计如下表：分数121098人数81210128已知该班的平均成绩，则该班成绩的方差 （精确到0.001）参考答案：16. 命题“若，则”的否命题是 参考答案：略17. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟。”在这里，我们称形如以下
6、形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若，具有“穿墙术”，则n=_参考答案：9999分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.详解：，按照以上规律，可得.故答案为：9999.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，椭圆的离心率为，直线 和所围成的矩形ABC
7、D的面积为8（1）求椭圆M的标准方程；（2）设直线与椭圆M有两个不同的交点直线与矩形ABCD有两个不同的交点求的最大值及取得最大值时的值 参考答案：解：(1)矩形ABCD面积为8，即由解得：，椭圆M的标准方程是. (2)由，设，则，由得. 线段CD的方程为，线段AD的方程为。不妨设点S在AB边上，T在CD边上,此时，因此，此时，当时取得最大值； 不妨设点S在AD边上，T在CD边上,可知.所以，则，令，则所以，当且仅当时取得最大值，此时； 不妨设点S在AB边上，T在BC边上,可知，由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值；综上所述，当和0时，取得最大值 略19. 已知函数，.（）若，求曲线在点处的
8、切线方程；（）当时，函数的两个极值点为，且.求证：.参考答案：（）因为，所以，于是有：，切点为.故切线方程为.（）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即有两个不等的实根，可得，且，因为，则，可得.，令，又，时，而，故在上恒成立，所以在上恒成立，即在上单调递减，所以，得证.20. （本小题满分9分) 选修44：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（）求直线的直角坐标方程；（）求点到曲线上的点的距离的最小值参考答案：（1）解：（）由点的极坐标为得点的直角坐标为，所以直线的直角坐标方程为（）由曲线的参数方
9、程21. 已知函数()讨论函数的单调性；()证明： (e为自然对数的底)恒成立参考答案：()见解析；()见解析.【分析】()求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；()取，有，即，求出(当且仅当时等号成立)，问题转化为证明在上恒成立即可，设，根据函数的单调性证明即可【详解】()解：函数的定义域为，当时，恒成立，所以在内单调递增；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减()证明：由(1)可知，当时，特别地，取，有，即，所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可设，则，当时，单调递减，
10、当时，单调递增故当时， ，即在上恒成立因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立或：令，则，再令，则，由知，存在，使得，得，由可证，进而得证【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。22. 已知，复数（1）若z对应的点在第一象限，求m的取值范围（2）若z与复数相等，求m的值；参考答案：（1）（2）【分析】（1）直接由实部与虚部大于0联立不等式组求解； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列方程组求值【详解】（1）由题意得，解得或的取值范围是；（2），且与复数相等，解得【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题
