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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑线性代数学识点总结 线性代数学识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：全体的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的全体元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式 （4）拆列调配：行列式中假设某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下
2、）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace开展式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），那么 7、n阶（n2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）开展 9、按行开展定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 （2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=kn|A| （2）|AB|=|A|B| （3）|AT|=|A| （4）|A-1|=|
3、A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值1、2、n，那么 （7）若A与B好像，那么|A|=|B| （五）克莱姆法那么 11、克莱姆法那么： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）假设非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解； 假设方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法留神事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不得志交换律； （因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律
4、） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=AT+BT （2）（kA）T=kAT （3）（AB）T=BTAT （4）|A|T=|A| （5）（AT）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/kA-1 (k0) （2）（AB）-1=B-1A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（AT）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 5、逆的求法： （1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解 （2）A为数字矩阵：（A
5、|E）初等行变换（E|A-1） （三）矩阵的初等变换 6、初等行（列）变换定义： （1）两行（列）互换； （2）一行（列）乘非零常数c （3）一行（列）乘k加到另一行（列） 7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。 8、初等变换与初等矩阵的性质： （1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵 （2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）； Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c） Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j） （四）矩阵的秩 9、秩的定义：非零子式的最高阶数 注：（1）r（A）=0意味着全体元素为0，即A=O （2）r
6、（Ann）=n（满秩） |A|0 A可逆； r（A）n|A|=0A不成逆； （3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r阶子式非零且全体r+1子式均为0。 10、秩的性质：（7条） （1）A为mn阶矩阵，那么r（A）min（m,n） （2）r（AB）r（A）（B） （3）r（AB）minr（A），r（B） （4）r（kA）=r（A）（k0） （5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵） （6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT） （7）设A是mn阶矩阵，B是ns矩阵，AB=O，那么r（A）+r（B）n 11、秩的求法： （1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解； （2）A为数字矩阵：A
7、初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），那么r（A）=非零行的行数 （五）伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质：（8条） （1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1 （2）（kA）*=kn-1A* （3）（AB）*=B*A* （4）|A*|=|A|n-1 （5）（AT）*=（A*）T （6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1 （7）（A*）*=|A| n-2A （8）r（A*）=n （r（A）=n）； r（A*）=1 （r（A）=n-1）； r（A*）=0 （r（A）n-1） （六）分块矩阵 13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法一致。 14、分块矩阵求逆： 3 向量
8、（一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（，）=T=T 2、长度定义： |= 3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1 （二）线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件： 非零列向量可由1，2，s线性表示 (1)非齐次线性方程组（1，2，s）（x1，x2，xs）T=有解。 (2)r（1，2，s）=r（1，2，s，）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 6、线性表示的充分条件：（了解即可） 若1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，那么可由1，2，s线性表示。 7、线性表
9、示的求法：（大题其次步） 设1，2，s线性无关，可由其线性表示。 （1，2，s|）初等行变换（行最简形|系数） 行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关 8、线性相关留神事项： （1）线性相关=0 （2）1，2线性相关1，2成比例 9、线性相关的充要条件： 向量组1，2，s线性相关 （1）有个向量可由其余向量线性表示； （2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0有非零解； （3）r（1，2，s）s 即秩小于个数 更加地，n个n维列向量1，2，n线性相关 （1） r（1，2，n）n （2）|1，2，n |=0 （3）（1，2，n）不成逆 10、线性相
10、关的充分条件： （1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关 （2）片面相关，那么整体相关 （3）高维相关，那么低维相关 （4）以少表多，多必相关 推论：n+1个n维向量确定线性相关 11、线性无关的充要条件 向量组1，2，s 线性无关 （1）任意向量均不能由其余向量线性表示； （2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0只有零解 （3）r（1，2，s）=s 更加地，n个n维向量1，2，n 线性无关 r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆 12、线性无关的充分条件： （1）整体无关，片面无关 （2）低维无关，高维无关 （3）正交的非零向量组线性无关 （4）不同特征值的特征向
11、量无关 13、线性相关、线性无关判定 （1）定义法 （2）秩：若小于阶数，线性相关； 若等于阶数，线性无关 【专业学识补充】 （1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变； 在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。 （2）若n维列向量1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，那么r（1，2，3）=r（C），从而线性无关。 r（1，2，3）=3 r（C）=3 |C|0 （四）极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 比较：矩阵的秩:非零子式的最高阶数 注:向量组1，2，s
12、的秩与矩阵A=（1，2，s）的秩相等 16、极大线性无关组的求法 （1）1，2，s 为抽象的：定义法 （2）1，2，s 为数字的： （1，2，s）初等行变换阶梯型矩阵 那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组 （五）向量空间 17、基（就是极大线性无关组）变换公式： 若1，2，n 与1，2，n 是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为（1，2，n）=（1，2，n）Cnn 其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。 C=（1，2，n）-1（1，2，n） 18、坐标变换公式： 向量在基1，2，n与基1，2，n 的坐标分别为x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T，
13、即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n） （六）Schmidt正交化 19、Schmidt正交化 设1，2，3 线性无关 （1）正交化 令1=1 （2）单位化 4 线性方程组 （一）方程组的表达形与解向量 1、解的形式： (1)一般形式 (2)矩阵形式：Ax=b； (3)向量形式：A=（1，2，n） 2、解的定义： 若=（c1，c2，cn）T得志方程组Ax=b，即A=b，称是Ax=b的一个解（向量） （二）解的判定与性质 3、齐次方程组： （1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数） （2）有非零解r（A）n 4、非齐次方程
