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1、2021年河南省开封市第一职业中学高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知样本数据x1，x2，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a ，x4，x5，x6，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为()参考答案：B略2. 下列命题中真命题的个数为方程|y2|0的解集为2，2集合y|yx21，xR与y|yx1，xR的公共元素所组成的集合是0，1集合x|x10与集合x|xa，aR没有公共元素A0 B1 C2 D3参考答案：A 解析：中方程|y2|0的解集应为x2，y2；中两个集合公共元素所组成的集合为y
2、|y1，此题重点要注意点集与数集的区别；中若a1，则有公共元素3. 已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是. . . .参考答案：A4. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（）A. 1：3B. 3：1C. 2：3D. 3：2参考答案：D【分析】设圆柱的底面半径为，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比【详解】设圆柱的底面半径为，轴截面正方形边长，则，可得圆柱的侧面积，再设与圆柱表面积相等的球半径为，则球的表面积，解得，因
3、此圆柱的体积为，球的体积为，因此圆柱的体积与球的体积之比为故选：D【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积和体积公式，以及球的表面积和体积公式的应用，其中解答中熟记公式，合理计算半径之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题5. 如图，向量，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底， 表示为A. B.C. D.参考答案：C6. 若cos（）=，则sin2=（）ABCD参考答案：D【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值【分析】法1：利用诱导公式化sin2=cos（2），再利用二倍角的余弦可得答案法：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin+cos的值，再平方，即得sin
4、2的值【解答】解：法1：cos（）=，sin2=cos（2）=cos2（）=2cos2（）1=21=，法2：cos（）=（sin+cos）=，（1+sin2）=，sin2=21=，故选：D7. 在等差数列an中，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：C【分析】利用等差数列的性质即可求解.【详解】是等差数列，由等差数列的性质可得，解得.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，需熟记若，则，属于基础题.8. 若集合M=1，1，N=2，1，0则MN=（）A01B0C1D1，1参考答案：C【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】进行交集的运算即可【解答】解：MN=1，12，1，0=1故
5、选：C【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算9. 若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D10. 集合，集合与的关系是_.A. B. C. D.M,N不存在包含关系参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，则_，_参考答案：(2,2) 1【分析】根据向量数乘运算和数量积运算法则求解即可.【详解】；本题正确结果：；【点睛】本题考查向量坐标运算中的数乘运算和数量积运算，属于基础题.12. （10分）在直线l：3xy1=0上存在一点P，使得：P点到点A（4，1）和点B（3，4）的距离之和最小求此时的距离之和参考答案：考点：
6、点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：设点B（3，4）关于直线l：3xy1=0的对称点为B（a，b），可得，解得a，b，则|PA|+|PB|取得最小值=|AB|解答：设点B（3，4）关于直线l：3xy1=0的对称点为B（a，b），则，解得a=，b=，B|PA|+|PB|取得最小值=|AB|=点评：本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题13. 函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4是单调减函数时，a的取值范围参考答案：（，3【考点】函数单调性的性质 【专题】计算题【分析】先将函数f（x）=x2+2（a1）x+2转化为：f（x）=（x+a1）2+
7、2（a1）2，明确其对称轴，再由函数在（，4是单调减函数，则对称轴在区间的右侧求解【解答】解：函数f（x）=x2+2（a1）x+2=（x+a1）2+2（a1）2其对称轴为：x=1a又（，4是单调减函数1a4，a3故答案为：（，3【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴是基础题14. 已知，向量与向量的夹角锐角，则实数的取值范围是参考答案：略15. 若的外接圆半径为2，则 。参考答案：16. 不等式的解集是xx3或x2，则不等式的解集是 参考答案：17. 如右图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两
8、个观测点C与D现测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设,且，且(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最大值.参考答案：(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由 得1x3，函数f(x)的定义域为(1，3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1，1时，f(x)是增函数；当x(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在 上的最大值是f(1)log242.19. 【题文】
9、(9分)定义闭集合若，则.(1)举一例，真包含于R的无限闭集合；（2）求证：对任意两个闭集合当是实数集R的真子集时,存在，但.参考答案：20. 已知为二次函数，其图象顶点为，且过坐标原点.（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值.参考答案：（1）（2）若，则最大值为0，若时， 最大值为.【分析】（1）设二次函数的顶点式方程，代入可求得，整理可得；（2）由（1）可得开口方向向上，对称轴为；分别在和两种情况下，结合二次函数图象可确定最大值点，代入求得最大值.【详解】（1）设解析式为：过坐标原点 ，解得：（2）由（1）知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数当时，当时，当时，【点睛】本题考查待定系数
10、法求解函数解析式、二次函数在某段区间内最值的求解问题，属于常考题型.21. 已知向量的夹角为，,求向量的模。参考答案：解析：22. （12分）已知函数f（x）=cos2x+asinxa2+2a+5（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）有最大值2，试求实数a的值参考答案：考点：三角函数的最值 专题：函数的性质及应用；三角函数的求值分析：（1）由a=1，化简可得f（x）=sin2x+sinx+7，从而解得f（x）；（2）y=sin2x+asinxa2+2a+6，令sinx=t，t，有y=t2+ata2+2a+6，对称轴为t=，讨论即可求得a的值解答：（1）a=1f（x）=s
11、in2x+asinxa2+2a+6=sin2x+sinx+7可解得：f（x）（2）y=sin2x+asinxa2+2a+6，令sinx=t，ty=t2+ata2+2a+6，对称轴为t=，当1，即a2时，是函数y的递减区间，ymax=y|t=1=a2+a+5=2得a2a3=0，a=，与a2矛盾；当1，即a2时，是函数y的递增区间，ymax=y|t=1=a2+3a+5=2得a23a3=0，a=，而a2，即a=；当11，即2a2时，ymax=y=a2+2a+6=2得3a28a16=0，a=4，或，而2a2，即a=；a=，或点评：本题主要考查了三角函数的最值，一元二次函数的性质的应用，属于基本知识的考查
