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1、2020年河北省廊坊市龙虎庄中学高二数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则（） A B C D 参考答案：A略2. 若函数在R上为减函数，则函数的单调递增区间( )A. (,1)B. (1,+)C. (,3)D. (3,+)参考答案：C【分析】由题意可得，令，求得的定义域为，函数是减函数，本题即求函数t在上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果.【详解】由函数在上为减函数，可得，令，求得的定义域为，且函数是减函数，所以本题即求函数t在上的减区间，利用二次函数的性质可得函数在上的减区间是，故选C
2、.【点睛】该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果.3. 掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为，若n=20，则当k为（ ）时取最大值. A3 B4 C8 D10 参考答案：A略4. 已知不等式的解集为，则的值等于 A. B. C. D. 参考答案：C5. （ ）A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限参考答案：B略6. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，
3、100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A588B480C450D120参考答案：B【考点】频率分布直方图 【专题】图表型【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为110（0.005+0.015）=0.8 由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为6000.8=480人故选B【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合
4、、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力7. 椭圆的焦距为2，则m的取值是（）A7B5C5或7D10参考答案：C略8. 下列各式中，最小值等于的是（ ） A B C D参考答案：D略9. 已知点M(x，y)在上，则的最大值为( ) A、 B、 C、 D、参考答案：D10. 中，则的值是（ ）A B C D或参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为 参考答案：【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，
5、结合余弦定理可求【解答】解：a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：【点评】本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题12. 已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为 参考答案：1【考点】两条直线的交点坐标【专题】直线与圆【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点，求出即可【解答】解：由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2xy=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边
6、，则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2xy=10的交点联立解得，把x=4，y=2代入ax+2y+8=0得a=1故答案为1【点评】正确理解题意是解题的关键13. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔距离为_km.参考答案：14. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为参考答案：6.8【考点】茎叶图；极差、方差与标准差【分析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就
7、是这组数据的方差【解答】解：根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11这组数据的方差是 （811）2+（911）2+（1011）2+（1311）2+（1511）2= 9+4+1+4+16=6.8故答案为：6.815. 设A、B为两个非空数集，定义：A+B=，若A=0，2，5，B=1，2，6，则A+B子集的个数是 。参考答案：略16. 某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，当每件商品的定价为 元时，利润最大 参考答案： 17. 在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文
8、字说明，证明过程或演算步骤18. 如右图，在矩形中，沿对角线把折起到位置，且在面内的射影恰好落在上（）求证：；（）求与平面所成的角的正弦值.参考答案：证明：（I）由题意知， 6分 （II）. 所成的角. 又在Rt 即与平面所成角的正弦值为. 12分略19. 在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。参考答案：解析：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： .5分（
9、）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T： 因为B（1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，
10、直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 .15分 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是 或 解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。 .20分20. 已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为（1）求椭圆C的方程. （2）过点作斜率为的直线与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得为以AB为底边的等腰三角形.若存在，
11、求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中由此可得点的横坐标的范围试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，所以；当时，所以.综上所述，在轴上存在
12、满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.21. (本小题满分15分)如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值. 参考答案：（1）证明：是的中点，且， . 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，. ，平面，平面， 平面. 平面， . 四边形是正方形， . ，平面，平面， 平面. 平面， . ，平面，平面， 平面. 平面， . 6（2）解法1：作于，连接， 平面，平面 . ，平面，平面， 平面. 平面， . 为二面角的平面角.设正方形的边长为，则， 在Rt中， 在Rt中，在Rt中， . 二面角的平面角的正弦值为. 15解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ， 建立空间直角坐标系，设，则，,.，.设平面的法向量为，由 得令 ，得， 为平
