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1、2021-2022学年湖北省襄阳市襄樊第二十四中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，那么关于的方程（ ）A.无实根 B.有两个相等的实根 C.有两个不等的实根 D.不确定参考答案：A2. “”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A3. 在中，则的面积S的值是（ ） A. B. C. D.参考答案：B4. 下列命题中为真命题的是（ ）A若B直线为异面直线的充要条件是直线不相交C“是“直线与直线互相垂直”的充要条件D
2、若命题，则命题的否定为：参考答案：D5. 已知关于x的不等式的解集不是空集,则a的最小值是( )A.-9 B.-8 C.-7 D.-6参考答案：A6. 设双曲线的一条准线与两条渐近线交于AB两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D参考答案：D7. ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形参考答案：A8. “4K9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件
3、的判断【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：方程+=1表示的图形为椭圆，解得：4k9且k，故“4K9”是“方程+=1表示的图形为椭圆“的必要不充分条件，故选：B9. 若，则的最小值为( )A3 B4 C5D6参考答案：A10. 设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆+=1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是参考答案：【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线
4、的定义、性质与方程【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由可得：m=，n=，代入可得：，解得e2（4e44e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e21=0即4e62e4+2e4e2+2e21=0，可得（2e21）（2e4+e2+1）=0解得e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力12. 命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”的否定是 参考答案：对任何xR，都有x2+2x+50【考点】特称命题【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定【解答】解：因为命
5、题“存在xR，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何xR，都有x2+2x+50故答案为：对任何xR，都有x2+2x+50【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础13. 在正四棱柱中（如图2），已知底面的边长为2，点是的中点，直线与平面成角，则异面直线和所成角为_。(结果用反三角函数值表示) 参考答案：略14. 参考答案：15. 已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是 参考答案：0m，或3m5【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析
6、】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9m2m0，解得0m3，则命题p为假命题时，m0，或m3，若命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题；则（，），即（，2），即m5，则命题q为假命题时，m，或m5，命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0m，当p假q真时，3m5，综上所述，实数m的取值范围是：0m，或3m5故答案为：0m，或
7、3m516. 在中，则外接圆的半径，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为则其外接球的半径为= ；参考答案：17. 在区间内随机地抽取两个数，则两数之和小于的概率为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）已知函数的减区间是（-2，2）（1）试求m,n的值；（2）求过点且与曲线相切的切线方程；（3）过点A(1,t)，是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：m=1，n=0 4分 ，当A为切点时，切线的斜率 ，切线为，即； 6分当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
8、切线方程为，即 因为过点A（1，-11）， ， 或，而为A点，即另一个切点为， ，切线方程为 ，即 所以，过点的切线为或 存在满足条件的三条切线 设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为 即因为其过点A（1，t），所以， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设，只要使曲线有3个零点即可设 =0， 分别为的极值点，当时，在和 上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得 .19. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要1602700
9、.050.010.0013.8416.63510.828附：的观测值（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.参考答案：（1）14%；（2）见解析；（3）见解析【分析】(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单
10、随机抽样的方法更好.【详解】（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.【点睛】本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.20. 已知椭圆C的两个焦点
11、是，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过左焦点F1且倾斜角为45的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长.参考答案：(1)；(2).试题分析：(1)由题意可得椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意可得，求得，即可得到所求椭圆的方程；（2）求出直线的方程，代入椭圆的方程，设，运用韦达定理，由弦长公式计算即可得到所求的值试题解析：（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为+=1（ab0），是椭圆短轴的一个顶点，可得，由题意可得c=2，即有a=3，则椭圆C的标准方程为；（2）由已知得，直线l斜率k=tan45=1，而F1（2，0），所以直线l方程为：y=x+2，代
12、入方程，得5x2+9（x+2）2=45，即14x2+36x9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，则=21. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （I）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.参考答案：22. （本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（1）求的大小；（2）若，试判断的形状.参考答案：解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。
