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1、辽宁省大连市揭阳华侨高级中学2020-2021学年高一数学文模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），ABC=，ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角的值为（）ABCD参考答案：B【考点】三角形中的几何计算；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形
2、PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；由比值，可设t=sin2来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的【解答】解：在RtABC中，AB=acos，AC=asin，S1=AB?AC=a2sincos设正方形的边长为x则 BP=，AP=xcos，由BP+AP=AB，得 +xcos=acos，故 x=S2=x2=（）2=?=+sin2+1，令t=sin2，因为 0，02，则t=sin2（0，1=+t+1=g（t），g（t）=+0，函数g（t）在（0，1上递减，因此当t=1时g（t）有最小值 g（t
3、）min=g（1）=，此时 sin2=1，=当 =时，最小，最小值为故选：B2. 将函数y=sin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）ABCD参考答案：C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin，整理后答案可得【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x），再将所得的图象向左平移个单位，得
4、函数y=sin，即y=sin（x），故选：C【点评】本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则3. 已知角的终边过点，则的值是 参考答案：D4. 若幂函数的图象经过点，则的定义域为（ ）AR B(,0)(0,+) C0,+) D(0,+) 参考答案：D由题意得，幂函数，所以定义域为。故选D。5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A B C D参考答案：D【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以
5、D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D6. 已知f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，f（x）x2，若直线与的图像恰好有两个公共点，则a（ ）A Bk,Z C D 参考答案：C7. .已知函数若f(a)=，则 a=A-1 B C-1 或 D1 或参考答案：C8. 已知向量，的夹角为120，且|=2，|=3，则向量2+3在向量2+方向
6、上的投影为（）ABCD参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】利用求模运算得到|2+3|，向量|2+|进而得到向量向量2+3与向量2+的夹角余弦，根据投影定义可得答案【解答】解：向量，的夹角为120，且|=2，|=3，所以|2+3|2=42+12?+92=16+12|cos120+81=61，|2+3|=又|2+|2=4+4+=16+432cos120+9=13，所以|2+|=，则cos2+3，2+=，所以向量2+3在向量2+方向上的投影为|2+3|cos2+3，2+=，故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，是中档题9. 若函数的图
7、象（部分）如右图所示，则的取值是（ ）A B C D参考答案：C略10. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等差数列an的前n项和为Sn，若，则m= 参考答案：5因为差数列的前项和为，所以公差，得，解得，故答案为5.12. 设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 参考答案：64【考点】8I：数列与函数的综合；8G：等比数列的性质【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a3=10，a2
8、+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=a1+q2a1=10，解得a1=8则a1a2an=a1n?q1+2+3+（n1）=8n?=，当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64故答案为：64【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力13. 方程的解是参考答案：x1=3，考点：函数的零点专题：转化思想；函数的性质及应用分析：先利用对数的运算性质和换底公式将方程进行化简，然后利用换元法，将方程转化为一元二次方程求解解答：解：因为方程为，所以可得，即，所以设t=log3x，则原不等式等价为2t2+t3=0，解得t=1或t=当t=1时，得log3x=1，解
9、得x=3当t=时，得，解得所以方程的两个解是x1=3，故答案为：x1=3，点评：本题主要考查与对数函数有个的方程求解问题首先利用对数的运算性质将方程化简是解决本题的关键，然后利用换元法转化为一元二次方程去求解这种转化思想要学会使用14. 已知、之间的一组数据如上表：则线性回归方程所表示的直线必经过点 . 参考答案：略15. 函数的值域为 参考答案：16. 已知满足，则=_ _。参考答案：17. 在中，如果，那么= 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一游泳池中，为了治
10、污，根据环保部门的建议，现决定在游泳池中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中药剂的浓度不低于3（克/升）时，它才能起到有效治污的作用。（）若一次投放3个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值。参考答案：（）因为,所以 2分则当时,由,解得,所以此时当时,由解得,所以此时4分综上，得,若一次投放3个单
11、位的制剂,则有效治污时间可达8天 6分（）当时, =,则，而,所以,用定义证明出： 故当且仅当时,有最小值为10分令,解得,所以的最小值为 12分19. （本题满分12分）已知长方体中，底面为正方形，面，点在棱上，且（1）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；（2）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值参考答案：（）取的四等分点，使得，则有平面.1分证明如下：因为且，所以四边形为平行四边形，则，2分因为平面，平面，所以平面4分（）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧6分因为，面，所以面， 7分故8分所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四
12、分之一圆弧的交点，10分即，所以ks5u即长度的最小值为12分20. 已知函数（1）指出并证明函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的值域参考答案：（1）定义域：2分奇函数6分（2） =令当时，因为单调递减故值域为：12分21. （本小题满分10分）已知，求的值参考答案：-322. 已知函数，（），记（）判断的奇偶性，并证明；（）对任意，都存在，使得，.若，求实数b的值；（）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（）函数为奇函数2分现证明如下：函数的定义域为，关于原点对称。3分由5分函数为奇函数6分评分建议：只要能判断出函数为奇函数，得2分； 不强调定义域，但是结果正确，这次不扣分；（）当时，即，12分令，下面求函数的最大值。，13分故的取
