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1、湖南省长沙市双翼中学2021年高一数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. (5分)长方体三条棱长分别是AA=1,AB=2,AD=4,则从A点出发,沿长方体的表面到C的最短矩离是()A5B7CD参考答案:A考点:多面体和旋转体表面上的最短距离问题 专题:计算题分析:从A点出发,沿长方体的表面到C有3条不同的途径,分别从与顶点A相邻的三个面出发,根据勾股定理得到长度分别是 ,5,比较结果,得到结论解答:从A点出发,沿长方体的表面到C有3条不同的途径,分别从与顶点A相邻的三个面出发,根据勾股定理得到长度分别是 ,
2、5,比较三条路径的长度,得到最短的距离是5答案为:5故选A点评:本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离,考查直角三角形的勾股定理,解答的关键是要分类讨论2. 若是第四象限的角,则是 ( )A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 参考答案:C略3. 已知f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)x1,则不等式xf(x)0在区间 1,3上的解集为( )A. (1,3) B. (1,1)C. (1,0)(1,3) D. (1,0)(0,1)参考答案:C若x2,0,则x0,2,此时f(x)=x1,f(x)是偶函数,f(x)=x1=f(x),即f(x)=x1,x2
3、,0,若x2,4,则x42,0,函数的周期是4,f(x)=f(x4)=(x4)1=3x,即,作出函数f(x)在1,3上图象如图,若0x3,则不等式xf(x)0等价为f(x)0,此时1x3,若1x0,则不等式xf(x)0等价为f(x)0,此时1x0,综上不等式xf(x)0在1,3上的解集为(1,0)(1,3),故选:C4. 下列四组函数是同一函数的个数为(1) ,; (2) ,(3),; (4),A 0 B1 C 2 D 3参考答案:A5. 已知函数是定义在实数集上的偶函数,且对任意实数都有,则 的值是( )A.1 B. 0 C. D. 参考答案:C6. 已知函数的图像如下:那么=( )A. B
4、. C. D. 参考答案:A7. 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶参考答案:D【考点】C4:互斥事件与对立事件【分析】利用互斥事件的概念求解【解答】解:“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故A错误;“两次都中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故B错误;“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”,能够同时发生,故C错误;“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”,不能同时发生,故D正确故选:D【点评】本题考查互斥事件的判断,是基础题,解题时要熟练掌握互斥事件的概念8. 已知点和向量,若,则点的坐标
5、为( )A B C D参考答案:A9. 在平面上,,若,则的取值范围是( ) A B C D 参考答案:D10. 点P(2,1)为圆(x1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()Ax+y1=0B2x+y3=0Cxy3=0D2xy5=0参考答案:C【考点】直线与圆相交的性质【分析】由垂径定理,得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直,由此算出AB的斜率k=1,结合直线方程的点斜式列式,即可得到直线AB的方程【解答】解:AB是圆(x1)2+y2=25的弦,圆心为C(1,0)设AB的中点是P(2,1)满足ABCP因此,PQ的斜率k=1可得直线PQ的方程是y+1=x2,化简得xy3=0故选
6、:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=的定义域为_.参考答案:(-,-4(1,+)12. 已知集合,B,则AB= .参考答案: (,0)13. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为.由以上信息,得到下表中c的值为_.天数x(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.5c参考答案:6因为回归直线过样本点中心,所以,则c=6.14. 已知扇形的圆心角为,半径为5cm,则扇形的面积为 .参考答案:15. 函数(且)的图象恒过点_。 参考答案:(0,2)略16. 方程的解集是 参考答案: 17. (5分)已知集
7、合M=1,2,3,4,A?M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定:当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0设集合A的累积值为n(1)若n=3,则这样的集合A共有 个;(2)若n为偶数,则这样的集合A共有 个参考答案:2,13。考点:元素与集合关系的判断 专题:压轴题分析:对重新定义问题,要读懂题意,用列举法来解,先看出集合A是集合M的子集,则可能的情况有24种,再分情况讨论解答:若n=3,据“累积值”的定义,得A=3或A=1,3,这样的集合A共有2个因为集合M的子集共有24=16个,其中“累积值”为奇数的子集为1,3,1,3共3个,所以“累积值”为偶
8、数的集合共有13个故答案为2,13点评:这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题,重在理解题意本题是开放型的问题,要认真分析条件,探求结论,对分析问题解决问题的能力要求较高三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知数列an中,.(1)求证:是等比数列,求数列an的通项公式;(2)已知:数列bn,满足求数列bn的前n项和Tn;记集合若集合M中含有5个元素,求实数的取值范围.参考答案:(1) 证明见解析, (2)【分析】(1)计算得到: 得证.(2) 计算的通项公式为,利用错位相减法得到.将代入集合M,化简并分离参数得,确定数列的单调性,根据
9、集合中含有个元素得到答案.【详解】(1) ,为等比数列,其中首项,公比为.所以,.(2)数列的通项公式为 -化简后得.将代入得化简并分离参数得,设,则易知由于中含有个元素,所以实数要小于等于第5大的数,且比第6大的数大.,综上所述.【点睛】本题考查了数列的证明,数列的通项公式,错位相减法,数列的单调性,综合性强计算量大,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19. (本小题满分14分)甲、乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102203124乙2311021101随机选择某一天进行检查,求甲、乙两
10、台机床出的次品数之和小于3的概率;分别计算这两组数据的平均数与方差,并根据计算结果比较两台机床的性能参考答案:从10天中随机选择1天,有10种可能的结果:第1天、第2天、第10天2分,其中甲、乙两台机床出的次品数之和小于3的结果(记为事件)有6种:第1天、第3天、第5天、第6天、第8天、第9天4分,由于所有10种结果是等可能的5分,所以7分8分10分11分13分因为且,所以乙机床的性能比较好14分略20. 光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y(1)写出y关于x的函数关系式;(2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的以下?
11、( lg30.4771)参考答案:【考点】函数模型的选择与应用【分析】(1)通过一块后强度为:a(0.9),通过二块后强度为:a(0.9)2,依此经过x块后强度为:a(0.9)x(2)根据光线强度减弱到原来的以下建立不等式:,求解【解答】解:(1)依题意:y=a(0.9)x,xN+(2)依题意:,即:,得:答:通过至少11块玻璃后,光线强度减弱到原来的以下21. 已知数列an满足a1=2,an+1=4an+3,求数列an的通项公式参考答案:【考点】8H:数列递推式【分析】根据数列递推式,变形可得数列an+1是以3为首项,以4为公比的等比数列,由此可得结论【解答】解:由题意an+1=4an+3可以得到an+1+1=4an+3+1=4(an+1)所以数列an+1是以a1+1=3为首项,以4为公比的等比数列则有an+1=34n1,所以an=34n11【点评】本题考查数列递推式,考查等比数列的判定,考查学生的计算能力,属于中档题22. (本小题满分12分)设数列的前项和为已知(1)设,证明数列是等比数列 (2)求数列的通项公式。参考答案:解:(1)由及,有由, 则当时,有得又,是首项,公比为的等比数列(2)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列,略