《求轨迹方程的常用方法例题及变式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求轨迹方程的常用方法例题及变式（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求轨迹方程的常用方法:题型一直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件,将几何条件M | P(M )直接翻译成x, y的形式. f(x, y) 0，然后进行等价变换，化简f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)。例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线AM和AN，分别交x,y轴于点M , N，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设P点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M (0,2y)，N(2x,0)(x,y R)AM
2、 ANkAM kAN13 0 (x 1)P(1,|)它也满足方程4x 6y 130 3 2y 3 J 、-1 x1，化简得 4x6y2x 20 2当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点所以中点P的轨迹方程为4x 6y 13Oo变式1N (1,0)的距离的2倍。已知动点M (x, y)到直线I : x 4的距离是它到点(D求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线m的斜题型二定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。22例2动圆M过定点P( 4,0)，且与圆C
3、 :x y 8x 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：根据题意| MC| |MP | 4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，故点M的轨迹是双曲线。2a 4a 2, c 4b c2 a2 1222故动圆圆心M的轨迹方程为 1412变式2在A ABC中，BC24, AC, AB上的两条中线长度之和为39,求A ABC的重心的轨迹方程.解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标2系，如图1, M为重心，则有|BM| |CM 3926 .3M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . b a2 c2 5 .22所求 ABC的重心的轨迹方程为1(y
4、 0)169 25题型三相关点法此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可先用x, y来表示x,y，再代入曲线C的方程f(x,y) 0,即得点M的轨迹方程。22例3如图，从双曲线x y 1上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹 方程分析：从题意看动点P的相关点是Q , Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(xAyj，则点N的坐标为(2x x2y y。N在直线xy2上，2x xi 2y yi 2 又P Q垂直于直线xy 2 ,y_吐，即xyyiXi 0X X-i由解得XiV31彳Y-
5、V 1221 3彳Y/ 1又点Q在双曲线x2 y21上，Xi Vi 12 2代入，得动点 p的轨迹方程为2x2 2y22x 2y 12变式3已知 ABC的顶点B( 3,0), C(1,0)，顶点A在抛物线y x上运动，求 ABC的重心G的轨迹方程.解:设G(x, y) , A(Xo,yo) ,由重心公式,得3 1 xxx。 3x 2,3Vy y。 3y.y,x2 上， y0 Xo2(3x2)2(y0),24G4x 3(y ) A(xo, y。)在抛物线y将，代人，得3y即所求曲线方程是y 3x题型四参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x, y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方
6、程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段AA 2a，直线I垂直平分AA于。，在I上取两点P, P ,使有向线段OP,OPluu uujr满足OP . OP 4 ,求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，直 以线段AA的中垂线为y轴建立 角坐标系.设点 P(0,t)(t 0),4则由题意，得P O4 .t由点斜式得直线AP, A P的方程分别为y两式相乘，消去t，得4x2 a2y2 4a2(y0).这就是所求点M的轨迹方程.2变式4设椭圆方程为
7、x2 -1，过点M (0,1)的直线I交椭圆于点A, B ,。是坐标原点,41 1 1I上的动点P满足OP -(OA OB)，点N的坐标为(一)，当I绕点N旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)| NP |的最小值与最大值.分析：(1)设出直线I的方程，与椭圆方程联立，求出冷X2,yi y2，进而表示出点P坐标,用消参法求轨迹方程；(2)将I NP I表示成变量X的二次函数。解： (1)法一：直线I过点M (0,1)，当I的斜率存在时，设其斜率为 k，则I的方程为kx 1。设 A( Xi, yO，B(X2,y2),由题设可列方程为kx 12X2红14将代入并化简得：(422k )x2kx3
8、Xi所以X2yiy22k4 k2824kOP2(OA OB) 2(为X22设点P的坐标为(x, y)，则k4 k244 k2消去参数k得4x2 y2当直线I的斜率不存在时, A，B的中点坐标为原y。点(OQ)，也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2 y2y0o法二：设点P的坐标为（x,y），因A（Xi,yj , B （X2, y?）在椭圆上，所以22 y； JXi , i 22;X2i4 一一2i 22；得：Xi2 X2 -(Yi2 V22)04所以(XiX2)(Xi x?) (yi y2)所 y)4yi y2y?) -0X1 x21当 & X2时，有 XiX2 (yi4X-l X2X2并且y上密2V iW V2XX-l X2将代入并整理得4X2 y2 y 0当XiX2时，点A, B的坐标分别为（0,2）、（0, 2）,x2X2 3）这时点P的坐标为（0,0），也满足,所以点P的轨迹方程为一一合i。2 i(2)由点P的轨迹方程知X2 2I 2I 2所以|NP|2(x-)2(y.)222 ,即i6(xX-44i 2 i 2-4x224i 23(x产647i2故当x 时，| NP |取得最小值，最小值为 4故当x，时，|NP|取得最小值，最小值为 6
