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1、第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限limxyx yxy00242= ( B )(A) 等于 0;(B)不存在;(C)等于12; (D)存在且不等于0 或12(提示:令22yk x)2、设函数fx yxyyxxyxy( , )sinsin11000,则极限lim( , )xyf x y00= ( C )(A) 不存在;(B) 等于 1;(C)等于 0;(D)等于 2 (提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)3、设函数f x yxyxyxyxy( , )222222000,则( ,)f x y( A )(A) 处处连续;(B) 处处有极限,但不连续;(C) 仅在( 0,0
2、)点连续;(D) 除( 0,0)点外处处连续(提示:在220 xy,( , )f x y处处连续;在0,0 xy,令ykx,22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxk xk,故在220 xy,函数亦连续。所以,( , )f x y在整个定义域内处处连续。)4、函数zf x y( , )在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的( A )(A) 必要而非充分条件;(B) 充分而非必要条件;(C)充分必要条件;(D) 既非充分又非必要条件5、设uyxarctan,则ux= ( B )(A) xxy22;(B) yxy22;(C) yxy22;(D) xxy226、设f
3、 x yyx( , )arcsin,则fx( , )2 1( A )(A)14;(B)14;(C)12;(D)12欢迎下载2 7、若)ln(yxz,则yzyxzx(C)(A)yx;(B)yx;(C)21;( D)218、设yxzarctan,vux,vuy,则vuzz(C)(A)22vuvu;( B)22vuuv;(C)22vuvu;(D)22vuuv9、若f xxxx fxxxx( ,),( ,)232612,则fxxy( ,)2= ( D )(A) x32;(B) x32;(C) 21x;(D) 21x10、设zyx,则()( , )zxzy2 1( A )(A) 2 ;(B) 1+ln2
4、 ;(C) 0 ;(D) 1 11、设函数zxy122,则点( , )00是函数z的( B )(A)极大值点但非最大值点;(B)极大值点且是最大值点;(C)极小值点但非最小值点;(D)极小值点且是最小值点。12、设函数zf x y( , )具有二阶连续偏导数,在Pxy000(,)处,有( C )2)()(,0)()(, 0)(, 0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx,则(A)点P0是函数z的极大值点;(B)点P0是函数z的极小值点;(C)点P0非函数z的极值点;(D)条件不够,无法判定。二、填空题1、极限limsin()xyxyx0= 。答:2、极限limln()xy
5、xyexy01222=。答:ln23、函数zxyln()的定义域为。答:xy14、函数zxyarcsin的定义域为。答:11x,y05、设函数f x yxyxyyx( , )ln22,则f kx ky(,)= 。答:kfx y2( , )欢迎下载3 6、设函数fx yxyxy( , ),则f xy xy(,)= 。答:222xyx(22()()(,)()()2xyxyxyf xy xyxyxyx)7、设zxyysin()3,则zxxy21_ 。答: 3cos5 8、函数zz x y( , )由方程xyzexyz()所确定,则22zx0 9、 、设uxxyln,则2ux y= _ 。答:1y9、
6、函数zxyxy2346122的驻点是 _。答: (1, 1)三、计算题1、求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形. (1) 221zxy(2)ln()zxy(3)1ln()zxy(4)ln(1)zxy解: (1)要使函数221zxy有意义,必须有2210 xy,即有221xy. 故所求函数的定义域为22(,)|1 Dx yxy,图形为图3.1 (2) 要 使 函 数ln()zxy有 意 义 , 必 须 有0 xy. 故 所 有 函 数 的 定 义 域 为( , )|0Dx yxy,图形为图3.2 (3)要使函数1ln()zxy有意义,必须有ln()0 xy,即0 xy且1xy. 故该函数的
7、定义域为( , ) |01Dx yxyxy,图形为图3.3 (4)要使函数ln(1)zxy有意义,必须有10 xy.故该函数的定义域为(, )|1Dx yxy,图形为图3.4 O1xyO1xyx+y=0欢迎下载4 图 3.1 图 3.2 O1xyx+y=0 x+y=11O1xyy=1/x1-1-1图 3.3 图 3.4 2、求极限limxyxxyexy00416。解:limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416 = -8 3、设函数zz x y( , )由方程xy zxyz2所确定,求zy。答:2112xyzxy4、设zyxyxln(),求zxzy,。解:zyyxy
8、xyxxxlnln1zxyxyyyyxx11ln()四、应用题 。1、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10 元与 9 元,生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元,求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?解:),(yxL表示获得的总利润,则总利润等于总收益与总费用之差,即有利润目标函数)33(01.032400)910(),(22yxyxyxyxyxL)0,0( ,400)33(01.06822yxyxyxyx,令0)6(01.060)6(01.08yxLyxLyx,解得唯一驻点(120,80). 又因06.0,01.0,006.0
9、yyxyxxLCLBLA,得0105.332BAC. 得极大值320)80,120(L. 根据实际情况,此极大值就是最大值故生产120 单位产品甲与80 单位产品乙时所得利润最大320 元. 欢迎下载5 五、证明题1、设)11(yxez求证zyzyxzx222证明:因为2)11(1xexzyx2)11(1yeyzyx所以zeeyzyxzxyxyx2)11()11(222设 2sin(x 2y 3z ) x 2y 3z 证明1yzxz证明:设 F(x y z) 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z 则Fx2cos(x 2y 3z) 1Fy 2cos(x 2y 3z) 2 2 2FxFz2cos(x 2y 3z) ( 3) 33Fx313xxzxFFFFxz3232xxzyFFFFyz于是13231zzzxFFFFyzxz3、设 x x(yz)y y(xz)z z(xy)都是由方程F(xyz) 0 所确定的具有连续偏导数的函数证明1xzzyyx解:因为xyFFyxyzFFzyzxFFxz所以1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx