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1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）1 2009年全国高中数学联赛江西省预赛 09年江西省预赛于2009 年 9 月 20 日在江西省11 个设区市进行， 全省约 1 万名学生参加了这次选拔赛，按照全国联赛所规定的模式，江西省预赛试题结构也相应作出了调整；省各地按 10：1 的比例，选出约1千人集中到南昌市参加10 月 11 日的全国高中数学联赛。声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）2 试题一、填空题（每小题 10 分，共80分）1. 某人在将20
2、09中间的两个数码00分别换成两位数ab与cd时，恰好都得到完全平方数：2229, 29,(,)abncdmmn m nN，则数组,mnabcd2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916yx的顶点和焦点，则椭圆的方程为：3. 实数,x y满足22236xyy，则xy的最大值是4. 四面体ABCD中，,1CDBC ABBC CDAC ABBC平面BCD与平面ABC成045的二面角，则点B到平面ACD的距离为5. 从集合1,2,3,2009M中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后， 则M中剩下的元素个数为6. 函数322( )(1)xxf xx的值域是7. 247coscoscoscos15
3、1515158. 九个连续正整数自小到大排成一个数列129,a aa，若13579aaaaa的值为一平方数，2468aaaa的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是二、解答题（共70分）9. （20 分）给定Y轴上的一点(0,)Aa（1a） ，对于曲线2112yx上的动点( , )M x y，试求,A M两点之间距离AM的最小值（用a表示） 10. （25分）如图，AB、CD、EF是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,M N P；证明：,MN P三点共线DFBACE声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更
4、多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）3 11. （25 分） n项正整数列12,nx xx的各项之和为2009，如果这n个数既可分为和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n的最小值解答1. (100,100)提示：注意到，对于整数k，若2k的末位数为9，则k的末位数必为3或7， 易 知244200029ab，（24 52 0 2 5），25 53 0 2 5 29cd， 因 此4455nm， 于是，若要,m n满足条件， 只可能是，47,53nm， 由于2472209，2532809，所以20,80,47,53abcdnm，,100,100mn abcd2. 221
5、1625xy提示：双曲线的两顶点为0,3，两焦点为0,5，故由条件，椭圆的两焦点为0,3，两顶点为0,5，因此，3,5ca，22216bac，则椭圆的方程为2211625xy3. 11102提 示 ： 令xyt， 则xty， 由22236tyyy， 得2252 2320ytyt，因y为实数，则判别式224 234520tt，得21021022t4. 33提示：2DCAC，作DE平面ABC，垂足为E，连,CE AE，由三 垂 线 逆 定 理 ，ECBC， 所 以045DCE， 故212C ED ED C，1136ABCDABCVDE S，又因ABCE为正方形，1AE，则2AD，因此正三角形ACD
6、的面积为32，设B到平面ACD的距离为h，由1136ACDh S，得33h声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）4 5. 1072 提示：集合M中，3的倍数有20096693个，5的倍数有20094015个，15的倍数有200913315个，则剩下的元素个数为2009669401 1331072个6. 1 1,4 4提示：2221( )11xxf xxx，令tanx，则11sin 2cos2sin 424f，由此，1144f，当tan,tan88x时两边分别取得等号7. 12提示：724coscoscoscos151515
7、1542coscos2coscos155155原式42coscoscos515154cossinsin561012cossin5102（注：由000000sin 722sin36cos364sin18cos18 cos36，则001sin18 cos364，即1cossin5104 ）8. 18000提示：设这九数为4,3,2,1, ,1,2,3,4aaaaa aaaa， 则有，25am，34an，9Sa，则2254mna，得2345mn令112 ,5nn mm，得231110040mn，所以231152mn，再取122mm，125nn，化为2222225mn，取2210,2mn，可使左式成立
8、， 这时20,100nm，2000a，声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）5 918000Sa9. 如 图 ， 易 求 得 曲 线 上 诸 点 的 坐 标 为 ：(2, 0),( 2, 0),(0,1)EFD，当22x，即22x时，曲线方程为212xy；而当22x时，曲线方程为212xy，对于情形，即22x时，显然当M位于顶点D处时，距离AM取得最小值1a；对于情形，即在2x或2x时，设点2( ,1)2xM x，由于2222221(1)(2 )2124xAMxaxaa，因1a，则22a，22a，于是，当2xa时，AM取得
9、最小值21a；再比较AD与AM：令222( )(1)(21)(4)f aADAMaaa a，则当14a时，( )0f a，ADAM，即最小值为1ADa；而当4a时，( )0f a，则最小值21AMa10. 如图，设,AB CD EF为三条不相交的弦， 其中ACBDP，AFBEM，CEDFN，又设BDCEH，点,N P M截BEH的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证1HPBMENPBMENH，用记号表示三角形面积，则由BMBAFBA BFMEEA EFEAFHPHACHACEACCHEA ECCHEAPBCEBA BCBA BCBACEACBAC由此得PHNMEABFCDYXoDFEMA声明：本资料
10、未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）6 HPBMCHBFPBMEBC EF，因此只要证，1EN BF CHEFBC NH，注意ENDNEFDC，BFDBCD，则NHNBDFBDFBNCHCBDCBDFB FDFB FNCB CDFB NDFBENCB CDCBEF所以1EN BF CHEF BC NH，即成立，从而成立，故结论得证11. 设分成的41个组为1241,AAA，每组中的各数和皆为49，称这种组为A类组；而分成的49个组为1249,B BB，每组中的各数和皆为41，称这种组为B类组显然，每个项kx恰好属于一个A类组和一个B
11、类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组,ijAB中有两个公共项,rtx x，则可以将这两个数合并为一个项rtxx，这样可使n值减少，故不妨设，每对,ijAB至多有一个公共项今用点1241,u uu分别表示1241,A AA， 而点1249,v vv表示组1249,B BB，如果组,ijAB有公共项， 则在相应的点,iju v之间连一条边，于是得二部图G，它恰有n条边和90个顶点下面证明G是连通图如果图G的最大连通分支为G，其顶点数少于90，设在分支G中，有a个A类顶点12,akkkuuu和b个B类 顶 点12,bsssvvv， 其 中90ab， 则 在 相 应 的A类 组12,akkkAAA
12、和B类组12,bsssBBB中，A类组ikA中的每个数ix都要在某个B类组jsB中出现；而B类组isB中的每个数jx也都要在某个A类组jrA中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接， 发生矛盾）， 因此a个A类组12,akkkAAA中各数的和应等于b个B类组12,bsssBBB中 各 数 的 和 ， 即 有4941ab， 由 此 得41 a，49b， 所 以414990ab， 矛盾！因此G是连通图于是图G至少有90189条边，即89n；声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）7 另一方面，我们可实际构造一个具有89项的数列12
13、89,x xx，满足本题条件例如取141427541,8,xxxx76797,xx808384851,6,xxxx86872xx，88895,3xx， （该数列有41个取值为41的项；34个取值为8的项；另将其余七个8拆成七对， 其中四对7,1，两对6,2，一对5,3，又得到14个项），于是，每个A类组可由一个41，一个8，或者由一个41，添加一对和为8的项组成； 这样共得41个A类组，每组各数的和皆为49；为了获得和为41的49个B类组，可使1241,x xx各成一组，其余的数可以拼成八个B类组：8,8,8,8,8,1的组四个，8,8,8,8,7,2的组两个，8,8,8,8,6,3的组一个，8,8,7,7,6,5的组一个故n的最小值为89
