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1、声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)1 2009年全国高中数学联赛江西省预赛 09年江西省预赛于2009 年 9 月 20 日在江西省11 个设区市进行, 全省约 1 万名学生参加了这次选拔赛,按照全国联赛所规定的模式,江西省预赛试题结构也相应作出了调整;省各地按 10:1 的比例,选出约1千人集中到南昌市参加10 月 11 日的全国高中数学联赛。声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)2 试题一、填空题(每小题 10 分,共80分)1. 某人在将20
2、09中间的两个数码00分别换成两位数ab与cd时,恰好都得到完全平方数:2229, 29,(,)abncdmmn m nN,则数组,mnabcd2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916yx的顶点和焦点,则椭圆的方程为:3. 实数,x y满足22236xyy,则xy的最大值是4. 四面体ABCD中,,1CDBC ABBC CDAC ABBC平面BCD与平面ABC成045的二面角,则点B到平面ACD的距离为5. 从集合1,2,3,2009M中,去掉所有3的倍数以及5的倍数后, 则M中剩下的元素个数为6. 函数322( )(1)xxf xx的值域是7. 247coscoscoscos15
3、1515158. 九个连续正整数自小到大排成一个数列129,a aa,若13579aaaaa的值为一平方数,2468aaaa的值为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是二、解答题(共70分)9. (20 分)给定Y轴上的一点(0,)Aa(1a) ,对于曲线2112yx上的动点( , )M x y,试求,A M两点之间距离AM的最小值(用a表示) 10. (25分)如图,AB、CD、EF是一个圆中三条互不相交的弦,以其中每两条弦为一组对边,各得到一个凸四边形,设这三个四边形的对角线的交点分别为,M N P;证明:,MN P三点共线DFBACE声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更
4、多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)3 11. (25 分) n项正整数列12,nx xx的各项之和为2009,如果这n个数既可分为和相等的41个组,又可分为和相等的49个组,求n的最小值解答1. (100,100)提示:注意到,对于整数k,若2k的末位数为9,则k的末位数必为3或7, 易 知244200029ab,(24 52 0 2 5),25 53 0 2 5 29cd, 因 此4455nm, 于是,若要,m n满足条件, 只可能是,47,53nm, 由于2472209,2532809,所以20,80,47,53abcdnm,,100,100mn abcd2. 221
5、1625xy提示:双曲线的两顶点为0,3,两焦点为0,5,故由条件,椭圆的两焦点为0,3,两顶点为0,5,因此,3,5ca,22216bac,则椭圆的方程为2211625xy3. 11102提 示 : 令xyt, 则xty, 由22236tyyy, 得2252 2320ytyt,因y为实数,则判别式224 234520tt,得21021022t4. 33提示:2DCAC,作DE平面ABC,垂足为E,连,CE AE,由三 垂 线 逆 定 理 ,ECBC, 所 以045DCE, 故212C ED ED C,1136ABCDABCVDE S,又因ABCE为正方形,1AE,则2AD,因此正三角形ACD
6、的面积为32,设B到平面ACD的距离为h,由1136ACDh S,得33h声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)4 5. 1072 提示:集合M中,3的倍数有20096693个,5的倍数有20094015个,15的倍数有200913315个,则剩下的元素个数为2009669401 1331072个6. 1 1,4 4提示:2221( )11xxf xxx,令tanx,则11sin 2cos2sin 424f,由此,1144f,当tan,tan88x时两边分别取得等号7. 12提示:724coscoscoscos151515
7、1542coscos2coscos155155原式42coscoscos515154cossinsin561012cossin5102(注:由000000sin 722sin36cos364sin18cos18 cos36,则001sin18 cos364,即1cossin5104 )8. 18000提示:设这九数为4,3,2,1, ,1,2,3,4aaaaa aaaa, 则有,25am,34an,9Sa,则2254mna,得2345mn令112 ,5nn mm,得231110040mn,所以231152mn,再取122mm,125nn,化为2222225mn,取2210,2mn,可使左式成立
8、, 这时20,100nm,2000a,声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)5 918000Sa9. 如 图 , 易 求 得 曲 线 上 诸 点 的 坐 标 为 :(2, 0),( 2, 0),(0,1)EFD,当22x,即22x时,曲线方程为212xy;而当22x时,曲线方程为212xy,对于情形,即22x时,显然当M位于顶点D处时,距离AM取得最小值1a;对于情形,即在2x或2x时,设点2( ,1)2xM x,由于2222221(1)(2 )2124xAMxaxaa,因1a,则22a,22a,于是,当2xa时,AM取得
9、最小值21a;再比较AD与AM:令222( )(1)(21)(4)f aADAMaaa a,则当14a时,( )0f a,ADAM,即最小值为1ADa;而当4a时,( )0f a,则最小值21AMa10. 如图,设,AB CD EF为三条不相交的弦, 其中ACBDP,AFBEM,CEDFN,又设BDCEH,点,N P M截BEH的三边,据梅涅劳斯逆定理,只要证1HPBMENPBMENH,用记号表示三角形面积,则由BMBAFBA BFMEEA EFEAFHPHACHACEACCHEA ECCHEAPBCEBA BCBA BCBACEACBAC由此得PHNMEABFCDYXoDFEMA声明:本资料
10、未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)6 HPBMCHBFPBMEBC EF,因此只要证,1EN BF CHEFBC NH,注意ENDNEFDC,BFDBCD,则NHNBDFBDFBNCHCBDCBDFB FDFB FNCB CDFB NDFBENCB CDCBEF所以1EN BF CHEF BC NH,即成立,从而成立,故结论得证11. 设分成的41个组为1241,AAA,每组中的各数和皆为49,称这种组为A类组;而分成的49个组为1249,B BB,每组中的各数和皆为41,称这种组为B类组显然,每个项kx恰好属于一个A类组和一个B
11、类组,即同类组之间没有公共项,如果两个组,ijAB中有两个公共项,rtx x,则可以将这两个数合并为一个项rtxx,这样可使n值减少,故不妨设,每对,ijAB至多有一个公共项今用点1241,u uu分别表示1241,A AA, 而点1249,v vv表示组1249,B BB,如果组,ijAB有公共项, 则在相应的点,iju v之间连一条边,于是得二部图G,它恰有n条边和90个顶点下面证明G是连通图如果图G的最大连通分支为G,其顶点数少于90,设在分支G中,有a个A类顶点12,akkkuuu和b个B类 顶 点12,bsssvvv, 其 中90ab, 则 在 相 应 的A类 组12,akkkAAA
12、和B类组12,bsssBBB中,A类组ikA中的每个数ix都要在某个B类组jsB中出现;而B类组isB中的每个数jx也都要在某个A类组jrA中出现,(否则将有边与分支外的顶点连接, 发生矛盾), 因此a个A类组12,akkkAAA中各数的和应等于b个B类组12,bsssBBB中 各 数 的 和 , 即 有4941ab, 由 此 得41 a,49b, 所 以414990ab, 矛盾!因此G是连通图于是图G至少有90189条边,即89n;声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦)7 另一方面,我们可实际构造一个具有89项的数列12
13、89,x xx,满足本题条件例如取141427541,8,xxxx76797,xx808384851,6,xxxx86872xx,88895,3xx, (该数列有41个取值为41的项;34个取值为8的项;另将其余七个8拆成七对, 其中四对7,1,两对6,2,一对5,3,又得到14个项),于是,每个A类组可由一个41,一个8,或者由一个41,添加一对和为8的项组成; 这样共得41个A类组,每组各数的和皆为49;为了获得和为41的49个B类组,可使1241,x xx各成一组,其余的数可以拼成八个B类组:8,8,8,8,8,1的组四个,8,8,8,8,7,2的组两个,8,8,8,8,6,3的组一个,8,8,7,7,6,5的组一个故n的最小值为89