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1、习题 1515-3 求习题 15-3 各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4 aIB对于导线 1：01，22，因此aIB401对于导线 2：21，因此02BaIBBB4021p方向垂直纸面向外。(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4 aIB对于导线 1：01，22，因此rIaIB44001，方向垂直纸面向内。对于导线 2：21，2，因此rIaIB44002，方向垂直纸面向内。半圆形导线在P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的
2、一半，即rIrIB4221003，方向垂直纸面向内。所以，rIrIrIrIrIBBBB4244400000321p，方向垂直纸面向内。(c) P 点到三角形每条边的距离都是ad63o301，o1502每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是aIdIB23150cos30cos400000故 P 点总的磁感应强度大小为aIBB29300习题 15-3 图I 1 2 ?P r r I (a) I 1 a ?2 I ?I a (b) (c) P P 精选文库2 方向垂直纸面向内。15-4在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕的平面线圈，通有电流I
3、，方向如习题 15-4 图所示。求中心O 处的磁感应强度。解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以I NI 圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为n rRNn建立如图坐标，取一半径为x 厚度为 dx 的圆环，其等效电流为: xrRNIxIdndd)(2d2dd000rRxxNIxIBrRrRNIrRxxNIBBRrNIln)(2)(2dd0000所以方向垂直纸面向外。15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A ，圆筒半径R=1.0 102m 如习题 15-5 图所示。求轴线上一点的磁感应强度。解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl则IRl
4、Idd则ld在 O 点所产生的磁场为22002d2ddRlIRIB又因，ddRl所以，RIRIB2002d2ddcosddxBB，sinddyBB半圆筒对 O 点产生的磁场为：根据对称性，0 xxdBB，RIBB20yyd所以B只有y方向分量，即RIBB20y，沿y的负方向。15-6矩形截面的螺绕环，尺寸如习题15-6 图所示，均匀密绕共N 匝，通以电流I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为210ln2DDNIh证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元xhSddOrxdxRyxdldB精选文库3 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，2212DrD，NIrB02dlBrNIB20SBd
5、d所以210220ln2d2dd12DDhNIrhrNISBDD15-7长直导线aa与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线 bb 沿半径方向与圆环接于点b，如习题 15-7 图所示。现有稳恒电流I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点O 的 B；(2)B 沿闭合路径L 的环流lBdL等于什么 ? 解 (1)43210BBBBB其中 : 04BRIB401RIBRIB231,232303202,2332llII故2B 与3B 大小相等 ,方向相反 ,所以032BB因而RIBB4010,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有: 3)32(d00i0IIIILlB15
6、-8如习题 15-8 图所示， 半径为 R 的 1/4 圆弧线圈通有电流I2，置于电流为 I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。解：在 I2上任取以电流元I2dl，与 x 轴的夹角为，则电流元所受到的磁力为：?0120ORabab1234习题 15-8 图O I1 I2 X 4545Y 习题 15-6 图精选文库4 01 2201201 2dd2d2cosd2cosI I BdFI B llxI I BRRI I B方向沿 O 点与电流元的连线。根据对称性可知，Fy=0 01 2440 12cosd2cos4xI I BFFdFI I B因此
7、所受的磁力为0 124I I B，沿 x 轴的正方向。15-9磁场中某点处的磁感应强度0.400.20 TBij，一电子以速度6610.5 101.0 10m svij通过该点。求作用在该电子上的磁场力。解 由洛仑兹力公式,有N1081002.04. 000.15. 0106.114619kkjiBvFq15-10在一个圆柱磁铁N 极正上方，水平放置一半径为R 的导线圆环，如习题15-10 图所示，其中通有顺时针方向 (俯视 )的电流 I。在导线处的磁感应强度B 的方向都与竖直方向成角。求导线环受的磁场力。解 圆环上每个电流元受力为BlFddI将B分解为 z 分量和径向分量：rzBBBcosz
8、BB，sinrBB所以rzrzddddBlBlBBlFIIIrzddBlFIzrddBlFI对于圆环0drF圆环所受合力为sin2dsind20rzRIBRIBlIBFF，方向沿 z轴正向。15-11如习题 15-11 图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a 和 b，导体内通有电流I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(ar b)任意一点 p 处的磁感应强度由下式给出rarabIB222202解 作图示的安培环路有i0dILLB精选文库5 因为导体电流在横截面上均匀分布，所以22abIj即)(d220arjLLB所以rabarIB)(2)(2222015-12一圆线圈的半径为R，载有电
9、流 I，置于均匀磁场中，如习题15-12 图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力的大小(已知线圈法线方向与B 的方向相同 )。解 取半个圆环为研究对象,受力如图所示 ,由平衡条件 ,有:FT2，半圆所受到的磁力F 等效于长为2R 的载流直导线，在磁场中受力：BIRBIlF2BIRBIlFT22所以15-13厚为 2d的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间磁感应强度的分布。解 建立如图所示的坐标系对板内，取安培环路abcd则xljBlL22d0LB所以jxB0对板外 ,取安培环路dcba,则有 : IL0dLB即dl jlB220所以jd
10、B0方向：在平板对称面的左则沿竖直向上，在对称面的右侧沿竖直向下。15-14一根半径为R 的长直导体圆柱载有电流I，作一宽为R 长为 l 的假想平面S，如习题 15-14 图所示。若假想平面S 可在导体直径和轴OO 所确定的平面内离开OO 轴移动至远处，试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置 (设直导线内电流分布是均匀的)。解 rR时：22001drRIIlBlFTTxyabcdabcdxB精选文库6 22012RrIrB即2012 RIrBrR时：I02dlBIrB022即rIB202当假想平面的内边界离OO轴 x 时RxRIlxRRIlrlrIrlrRIxRRRxln2212d2d202
11、220020令001224dd020RxIlxRIlxRx2151Rx2152(舍) 对求二阶导数20202222ddRxIlRIlx1B ，说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场0B 的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则jBBBB000121jBBBB000221由此二式解得21021BBB，1201BBj在载流平面上沿电流方向取长为h、 宽为 dl 的条形面积， 面积 dS=hdl， 面积上电流dI=jdl，此电流受到的磁力大小为SBjlBjhIBhFdddd载流平面单位面积所受磁力大小为2122012120212
12、1ddBBBBBBBjSF方向为垂直于平面向左。15-16电流为 I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面，如习题15-16 图所示。求： (1)载精选文库7 流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c并垂直于纸面方向的直线为轴)。解 ab 边到长直导线的距离为d，电流1I 在 ab 边上的磁场为dIB210方向垂直纸面向内。此磁场对ab 边的作用力为0 1222abI I lFI Bld方向向左。在 ac 边上任取一l d,设ld到1I 的距离为x， 则1I 在l d处产生的磁场为xIB210，l d受到的磁力BlFdd2I，又因为Bl d所以0210230c
13、osd2ddxxIIlBIF，所以301201 22acd3ln(1)233dldI II IxlFxd，方向如图所示。同理，可求得acbcFF，方向如图所示。则线圈受到的合力为：0yF，)231ln(312210bcxacxabxdldlIIFFFF因此线圈所受的磁场力大小为)231ln(312210dldlII，方向沿x 轴负向。（2）因为nPSIddmn的方向垂直直面向外所以BP/dm又因为BPMmdd，所以0dM，所以0M15-17半径为 a、线电荷密度为 (常量 )的半圆，以角速度绕轴 O O 匀速旋转，如习题 15-17 图所示。 求：(1)在点 O 产生的磁感应强度B；(2)旋转
14、的带电半圆的磁矩mP。解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dddalq旋转后形成电流元d2d2ddaqqnI由圆环2322202xRIRB得sinaRcosaxdsin4d2sincossin2dsind203220232222220IaaaaIaB精选文库8 8dsin4d0020BB方向向上（2）因为nmSIP，d2sindsinSdId2322maIaP4dsin2d2sin3002323maaaP，方向向上。15-18有一均匀带电细直棒AB，长为 b，线电荷密度为。此棒绕垂直于纸面的轴O 以匀角速度转动，转动过程中端A 与轴 O 的距离a 保持不变，如习题15-18 图所示。求：
15、(1)点 O 的磁感应强度B；(2)转动棒的磁矩mP； (3)若 ab，再求B和mP。解 (1)均匀带电直棒AB 绕 O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元rdqd,等效电流为：rqId22dd它在 O 点的磁感应强度00ddd24IrBrr000ddln44a barabBraB（0，方向垂直纸面向里）(2)rrIrpd21dd22mbaarrppd21d2mm6/ )(33aba（0，方向垂直纸面向里）(3)若 ab，则有：ababaln，00()44qbBaa与带电粒子qb情况相同则有时),/31()( ,33abababa322m113()622bpab aq aa与点
16、电荷的磁矩相同（0，方向垂直纸面向里）15-19. 一平面圆盘，半径为R，表面面电荷密度为。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为， 匀强磁场B 的方向与转轴的夹角为，试求圆盘所受的力矩。解：在半径为r 处取宽度为dr 的圆环，其等效电流为：ddIr r其磁矩为OABabdqB r精选文库9 2mddr rrnPeBpMmdd2dsindMr rr B3401sin dsin4RMr BrBR15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和 R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为 a(R2a+ R12 R1)，如习题 15-20 图所示。电流I 沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为2R ，其上电流密度为2122RRIj的实心导体，与半径为1R 的，电流密度为 -j 的实心导体所构成的。设 j 沿 z 轴正方向， 根据安培环路定理，半径为2R 电流均匀分布的导体， 在 O 点产生的磁场为0，而半径为1R 电流均匀分布的导体，在O 点产生的磁场为aRRIRRRIaRajRB21222102122210210O222，
