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1、习题 1515-3 求习题 15-3 各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为:210coscos4 aIB对于导线 1:01,22,因此aIB401对于导线 2:21,因此02BaIBBB4021p方向垂直纸面向外。(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为:210coscos4 aIB对于导线 1:01,22,因此rIaIB44001,方向垂直纸面向内。对于导线 2:21,2,因此rIaIB44002,方向垂直纸面向内。半圆形导线在P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内,大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的
2、一半,即rIrIB4221003,方向垂直纸面向内。所以,rIrIrIrIrIBBBB4244400000321p,方向垂直纸面向内。(c) P 点到三角形每条边的距离都是ad63o301,o1502每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内,大小都是aIdIB23150cos30cos400000故 P 点总的磁感应强度大小为aIBB29300习题 15-3 图I 1 2 ?P r r I (a) I 1 a ?2 I ?I a (b) (c) P P 精选文库2 方向垂直纸面向内。15-4在半径为 R 和 r 的两圆周之间,有一总匝数为N 的均匀密绕的平面线圈,通有电流I
3、,方向如习题 15-4 图所示。求中心O 处的磁感应强度。解 由题意知,均匀密绕平面线圈等效于通以I NI 圆盘,设单位径向长度上线圈匝数为n rRNn建立如图坐标,取一半径为x 厚度为 dx 的圆环,其等效电流为: xrRNIxIdndd)(2d2dd000rRxxNIxIBrRrRNIrRxxNIBBRrNIln)(2)(2dd0000所以方向垂直纸面向外。15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒,设电流 I=5.0A ,圆筒半径R=1.0 102m 如习题 15-5 图所示。求轴线上一点的磁感应强度。解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条,每一细条可看作一无限长直导线,取一微元dl则IRl
4、Idd则ld在 O 点所产生的磁场为22002d2ddRlIRIB又因,ddRl所以,RIRIB2002d2ddcosddxBB,sinddyBB半圆筒对 O 点产生的磁场为:根据对称性,0 xxdBB,RIBB20yyd所以B只有y方向分量,即RIBB20y,沿y的负方向。15-6矩形截面的螺绕环,尺寸如习题15-6 图所示,均匀密绕共N 匝,通以电流I,试证明通过螺绕环截面的磁通量为210ln2DDNIh证明 建立如图所示坐标,在螺绕环横截面上任取一微元xhSddOrxdxRyxdldB精选文库3 以与螺绕环同心的圆周为环路,其半径为r,2212DrD,NIrB02dlBrNIB20SBd
5、d所以210220ln2d2dd12DDhNIrhrNISBDD15-7长直导线aa与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点a,另一直导线 bb 沿半径方向与圆环接于点b,如习题 15-7 图所示。现有稳恒电流I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点O 的 B;(2)B 沿闭合路径L 的环流lBdL等于什么 ? 解 (1)43210BBBBB其中 : 04BRIB401RIBRIB231,232303202,2332llII故2B 与3B 大小相等 ,方向相反 ,所以032BB因而RIBB4010,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有: 3)32(d00i0IIIILlB15
6、-8如习题 15-8 图所示, 半径为 R 的 1/4 圆弧线圈通有电流I2,置于电流为 I1的无限长直线电流的磁场中,直线电流I1恰过圆的直径,求圆弧受到长直线电流I1的磁场力。解:在 I2上任取以电流元I2dl,与 x 轴的夹角为,则电流元所受到的磁力为:?0120ORabab1234习题 15-8 图O I1 I2 X 4545Y 习题 15-6 图精选文库4 01 2201201 2dd2d2cosd2cosI I BdFI B llxI I BRRI I B方向沿 O 点与电流元的连线。根据对称性可知,Fy=0 01 2440 12cosd2cos4xI I BFFdFI I B因此
7、所受的磁力为0 124I I B,沿 x 轴的正方向。15-9磁场中某点处的磁感应强度0.400.20 TBij,一电子以速度6610.5 101.0 10m svij通过该点。求作用在该电子上的磁场力。解 由洛仑兹力公式,有N1081002.04. 000.15. 0106.114619kkjiBvFq15-10在一个圆柱磁铁N 极正上方,水平放置一半径为R 的导线圆环,如习题15-10 图所示,其中通有顺时针方向 (俯视 )的电流 I。在导线处的磁感应强度B 的方向都与竖直方向成角。求导线环受的磁场力。解 圆环上每个电流元受力为BlFddI将B分解为 z 分量和径向分量:rzBBBcosz
8、BB,sinrBB所以rzrzddddBlBlBBlFIIIrzddBlFIzrddBlFI对于圆环0drF圆环所受合力为sin2dsind20rzRIBRIBlIBFF,方向沿 z轴正向。15-11如习题 15-11 图所示,空心圆柱无限长导体内外半径分别为a 和 b,导体内通有电流I,且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(ar b)任意一点 p 处的磁感应强度由下式给出rarabIB222202解 作图示的安培环路有i0dILLB精选文库5 因为导体电流在横截面上均匀分布,所以22abIj即)(d220arjLLB所以rabarIB)(2)(2222015-12一圆线圈的半径为R,载有电
9、流 I,置于均匀磁场中,如习题15-12 图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下,求线圈导线上的张力的大小(已知线圈法线方向与B 的方向相同 )。解 取半个圆环为研究对象,受力如图所示 ,由平衡条件 ,有:FT2,半圆所受到的磁力F 等效于长为2R 的载流直导线,在磁场中受力:BIRBIlF2BIRBIlFT22所以15-13厚为 2d的无限大导体平板,其内有均匀电流平行于表面流动,电流密度为j,求空间磁感应强度的分布。解 建立如图所示的坐标系对板内,取安培环路abcd则xljBlL22d0LB所以jxB0对板外 ,取安培环路dcba,则有 : IL0dLB即dl jlB220所以jd
10、B0方向:在平板对称面的左则沿竖直向上,在对称面的右侧沿竖直向下。15-14一根半径为R 的长直导体圆柱载有电流I,作一宽为R 长为 l 的假想平面S,如习题 15-14 图所示。若假想平面S 可在导体直径和轴OO 所确定的平面内离开OO 轴移动至远处,试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置 (设直导线内电流分布是均匀的)。解 rR时:22001drRIIlBlFTTxyabcdabcdxB精选文库6 22012RrIrB即2012 RIrBrR时:I02dlBIrB022即rIB202当假想平面的内边界离OO轴 x 时RxRIlxRRIlrlrIrlrRIxRRRxln2212d2d202
11、220020令001224dd020RxIlxRIlxRx2151Rx2152(舍) 对求二阶导数20202222ddRxIlRIlx1B ,说明载流平面的磁场B的方向与所放入的均匀磁场0B 的方向在平面右侧是一致的,在平面左侧是相反的,进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为j。则jBBBB000121jBBBB000221由此二式解得21021BBB,1201BBj在载流平面上沿电流方向取长为h、 宽为 dl 的条形面积, 面积 dS=hdl, 面积上电流dI=jdl,此电流受到的磁力大小为SBjlBjhIBhFdddd载流平面单位面积所受磁力大小为2122012120212
12、1ddBBBBBBBjSF方向为垂直于平面向左。15-16电流为 I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1共面,如习题15-16 图所示。求: (1)载精选文库7 流线圈所受到的总的磁场力;(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c并垂直于纸面方向的直线为轴)。解 ab 边到长直导线的距离为d,电流1I 在 ab 边上的磁场为dIB210方向垂直纸面向内。此磁场对ab 边的作用力为0 1222abI I lFI Bld方向向左。在 ac 边上任取一l d,设ld到1I 的距离为x, 则1I 在l d处产生的磁场为xIB210,l d受到的磁力BlFdd2I,又因为Bl d所以0210230c
13、osd2ddxxIIlBIF,所以301201 22acd3ln(1)233dldI II IxlFxd,方向如图所示。同理,可求得acbcFF,方向如图所示。则线圈受到的合力为:0yF,)231ln(312210bcxacxabxdldlIIFFFF因此线圈所受的磁场力大小为)231ln(312210dldlII,方向沿x 轴负向。(2)因为nPSIddmn的方向垂直直面向外所以BP/dm又因为BPMmdd,所以0dM,所以0M15-17半径为 a、线电荷密度为 (常量 )的半圆,以角速度绕轴 O O 匀速旋转,如习题 15-17 图所示。 求:(1)在点 O 产生的磁感应强度B;(2)旋转
14、的带电半圆的磁矩mP。解 (1)把半圆分成无数个小弧每段带电量dddalq旋转后形成电流元d2d2ddaqqnI由圆环2322202xRIRB得sinaRcosaxdsin4d2sincossin2dsind203220232222220IaaaaIaB精选文库8 8dsin4d0020BB方向向上(2)因为nmSIP,d2sindsinSdId2322maIaP4dsin2d2sin3002323maaaP,方向向上。15-18有一均匀带电细直棒AB,长为 b,线电荷密度为。此棒绕垂直于纸面的轴O 以匀角速度转动,转动过程中端A 与轴 O 的距离a 保持不变,如习题15-18 图所示。求:
15、(1)点 O 的磁感应强度B;(2)转动棒的磁矩mP; (3)若 ab,再求B和mP。解 (1)均匀带电直棒AB 绕 O 轴旋转,其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元rdqd,等效电流为:rqId22dd它在 O 点的磁感应强度00ddd24IrBrr000ddln44a barabBraB(0,方向垂直纸面向里)(2)rrIrpd21dd22mbaarrppd21d2mm6/ )(33aba(0,方向垂直纸面向里)(3)若 ab,则有:ababaln,00()44qbBaa与带电粒子qb情况相同则有时),/31()( ,33abababa322m113()622bpab aq aa与点
16、电荷的磁矩相同(0,方向垂直纸面向里)15-19. 一平面圆盘,半径为R,表面面电荷密度为。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为, 匀强磁场B 的方向与转轴的夹角为,试求圆盘所受的力矩。解:在半径为r 处取宽度为dr 的圆环,其等效电流为:ddIr r其磁矩为OABabdqB r精选文库9 2mddr rrnPeBpMmdd2dsindMr rr B3401sin dsin4RMr BrBR15-20有一个无限长直圆筒形导体,导体和空腔半径分别为R2和 R1,它们的轴线相互平行,两轴线间的距离为 a(R2a+ R12 R1),如习题 15-20 图所示。电流I 沿轴向流动,在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理,此系统可看作由半径为2R ,其上电流密度为2122RRIj的实心导体,与半径为1R 的,电流密度为 -j 的实心导体所构成的。设 j 沿 z 轴正方向, 根据安培环路定理,半径为2R 电流均匀分布的导体, 在 O 点产生的磁场为0,而半径为1R 电流均匀分布的导体,在O 点产生的磁场为aRRIRRRIaRajRB21222102122210210O222,