2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题( 总分： 150.00，做题时间： 180 分钟)一、选择题 (总题数： 10，分数： 50.00)1. 当 x0 时，时 x7的（）分数： 5.00 ）A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小（正确答案）D.同阶但非等价无穷小解析：因为当 x 0 时，正确答案为 C2. 函数在 x=0 处（）分数： 5.00 ）A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为 0D.可导且导数不为 0 （正确答案）解析：3. 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm/s ，-3cm/s ，当底面半径为 10cm，高为 5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）分数： 5.00 ）A.1253cm/s，40cm2/sB.1253cm/s，- 40cm2/sC.-1003cm/s，40cm2/s（正确答案）D.-1003cm/s，-40cm2/s解析：4. 设函数 f （x）=ax-blnx （a0）有两个零点，则（）分数： 5.00 ）A.(e,+ )（正确答案）B.(0,e)C.D.解析：5. 设函数 f (x) =secx 在 x=0 处的 2 次泰勒多项式为1+ax +bx2，则（）。
分数： 5.00 ）A.B.C.D.（正确答案）解析：6. 设函数 f（x, y） 可微，且 f（x+1， ex）= x （x+1）2， f （x, x2)=2x2lnx ，则 df （1,1 ）=（）分数： 5.00 ）A.dx+dyB.dx -dyC.dy （正确答案）D.-dy解析：7. 设函数 f （x）在区间 0,1 上连续，则（）分数： 5.00 ）A.B.（正确答案）C.D.解析：由定积分的定义知，将 0,1 分成 n 份，取中间点的函数值，则8. 二次型 f （x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（）分数： 5.00 ）A.2,0B.1,1 （正确答案）C.2,1D.1,2解析：f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x1x3 令上式等于零，故特征值为-1 ，3，0 ，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为 1 故应选 B9. 设 3 阶矩阵 A（1，2，3），B= （1，2，3），若向量组1，2，3可以由向量组 1，2，3线性表出，则（）。
分数： 5.00 ）A.Ax=0 的解均为 Bx=0 的解B.ATx=0 的解均为 BTx =0 的解.C.Bx=0 的解均为 Ax=0 的解D.BTx=0 的解均为 ATx=0 的解（正确答案）解析：令 A（1，2，3），B=（1，2，3），由题 1，2，3可由 1，2，3线性表示，即存在矩阵 P，使得 BP =A，则当 BTx0=0时，ATx=0=（BP ）Tx0=PTBTx0=0恒成立，即选 D10. 已知矩阵若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q ，使 PAQ 为对角矩阵，则 P ，Q 可以分别取（）分数： 5.00 ）A.B.C.（正确答案）D.解析：二、填空题 (总题数： 6，分数： 30.00)11._分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：）解析：12. 设函数 y=y(x) 由参数方程_分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：）解析：13. 设函数 z = z(x, y)由方程(x+1)z + y ln z- arctan(2xy) -1 确定，则=_分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：14. 已知函数_分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：）解析：15. 微分方程 y-y=0 的通解 y=_。
分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：）解析：16. 多项式中 x3项的系数为 _分数： 5.00 ）填空项 1:_ （正确答案：-5）解析：所以展开式中含 x3项的有-x3，-4x3，即 x3项的系数为 -5 三、解答题 (总题数： 6，分数： 70.00)17. 求极限（分数： 10.00）_ 正确答案： ()解析：18.（分数： 12.00）_ 正确答案： ()解析：19.L 的弧长为 s ， L 绕 x 轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ，求 s 和 A分数： 12.00）_ 正确答案： ()解析：函数 y = y(x) 的微分方程 xy- 6y=-6 ，满足=10分数： 12）(1). 求 y(x) 分数： 5）_ 正确答案： ()解析：(2).P 为曲线 y = y(x) 上的一点，曲线 y = y(x) 在点 P 的法线在 y 轴上的截距为Iy，为使 Iy最小，求 P 的坐标分数： 7）_ 正确答案： ()解析：20.（分数： 12.00）_ 正确答案： ()解析：21. 设矩阵仅有两个不同的特征值，若 A 相似于对角矩阵，求 a ，b 的值，并求可逆矩阵 P ，使 P-1AP 为对角矩阵。
分数： 12.00）_ 正确答案： (当 b=3 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则当 b=1 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则)解析：。