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1、北京磁家务中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )A.1 B.2 C.3 D.4参考答案:A略2. 已知点P是双曲线右支上一点,分别是双曲线的左、右焦点,点为的内心,若成立,则双曲线的离心率为 ( )A B C D 参考答案:A3. 一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为,圆锥内有一个内接正方体,则这个正方体的体积为( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】由已知可设正方体的棱长为,则,求出, 再利用正方体的体积公式运算即
2、可.【详解】解:圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面夹角为,所以,圆锥轴截面为等腰直角三角形,底面半径和高均为,设正方体的棱长为,则,所以,所以正方体的体积为.故选C.【点睛】本题考查了空间几何体及正方体的体积公式,属基础题.4. 过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,连接PA,PB,PC,若点O是ABC的内心,则()APA=PB=PCB点P到AB,BC,AC的距离相等CPAPB,PBPC,PCPADPA,PB,PC与平面所成的角相等参考答案:B【考点】点、线、面间的距离计算【分析】过O做三角形ABC三边的高OD,OE,OF,连接PD,PE,PF,构造直角三角形,利用三角形的全等得出PD=
3、PE=PF,再利用线面垂直的性质得出PDAB,PEBC,PFAC,从而得出P到AB,BC,AC的距离相等【解答】解:过O做三角形ABC三边的高,垂足分别为D,E,F,连接PD,PE,PF,如图所示:O是ABC的内心,OD=OE=OF,PO平面,OD?平面,OE?平面,OF?平面,POOD,POOE,POOF,RtPOD=RtPOE=RtPOF,PD=PE=PF,ABOD,ABPO,AB平面POD,ABPD,即PD为P到AB的距离,同理PEBC,PFAC,点P到AB,BC,AC的距离相等故选B5. 某校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本。已知从学生中抽
4、取的人数为150,那么该学校的教师人数是( ) A、100 B、150 C、200 D、300参考答案:B6. 椭圆的离心率的最小值为 A. B. C. D. 参考答案:A方程表示椭圆,则:,据此可得:,很明显,即该椭圆表示焦点位于轴的椭圆,其离心率为:,当且仅当时等号成立.综上可得:椭圆的离心率的最小值为本题选择A选项.7. 已知点是椭圆上的任意一点,若为线段中点,则点的轨迹方程是 ( )A B C D 参考答案:A8. 椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为()A8,4,B8,4,C4,2,D4,2,参考答案:C解:椭圆化为标准方程为:,可得,所以椭圆的长轴长,短轴长和焦点坐标分别为:8,4
5、,故选9. 抛物线的焦点坐标为A. (1,0) B. (0,1) C. D.参考答案:B10. 如果执行右面的程序框图,那么输出的()A10B22C46D参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于的不等式的解集中整数恰好有3个,则实数的取值范围是 参考答案:12. 已知tan=2,则 =参考答案:由三角函数的诱导公式化简,再由弦化切计算得答案解:tan=2,=故答案为:13. 已知双曲线的离心率为,则双曲线的的右焦点是_.参考答案:略14. 已知数列an的前n项和Sn=n3n2,则a10=参考答案:252考点: 数列的函数特性专题: 函数的性质及应用分析: 直
6、接利用已知条件求出a10=S10S9的结果即可解答: 解:数列an的前n项和Sn=n3n2,则a10=S10S9=103102(9392)=252故答案为:252点评: 本题考查数列的函数的特征,基本知识的考查15. 已知等比数列an的公比为正数,且a1?a7=2a32,a2=2,则a1的值是参考答案:【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知列式求得q,再由求得答案【解答】解:在等比数列an中,由a1?a7=2a32,得,得q2=2,q0,又a2=2,故答案为:16. 对于直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x,k=1是直线l与抛物线C有唯一交点的 条件(填充要,充分不必要,必要不充分
7、,既不充分又不必要)。参考答案:充分不必要17. 求满足的的取值集合是_.参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,是中点(1)求点到平面的距离;(2)求二面角的余弦值参考答案:正方形边长,.,平面.分别以、为轴,轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, ,.(1)设平面的一个法向量,则.令,得,与平面所成角的正弦值.点到平面的距离为.(2)设平面的一个法向量,则令,得,二面角的余弦值为.19. 下面是描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的过程的程序框图,请问虚线框内是什么结构?参考答案:虚线框内是一
8、个条件结构.20. 如图,ABCD是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形面积参考答案:【考点】平面图形的直观图【专题】计算题;作图题;空间位置关系与距离;立体几何【分析】根据斜二测画法的作图步骤,由已知的直观图可得原图,分析形状后,代和平行四边形面积公式,可得原图面积【解答】解:由已知中ABCD是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,可得该四边形的原图形,如下图所示:这是一个底边长2,高的平行四边形,故原图的面积为:2【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图,熟练掌握斜二测画法的作图步骤,是解答的关键21.
9、 设函数f(x)=ax2lnx(x1)(x0),曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0(1)求证:当x1时,f(x)(x1)2; (2)若当x1时,f(x)m(x1)2恒成立,求实数m的取值范围参考答案:【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;6E:利用导数求闭区间上函数的最值【分析】(1)由题意求得a=1,得到函数解析式,构造函数g(x)=x2lnx+xx2,(x1)利用导数可得函数在1,+)上为增函数,可得g(x)g(1)=0,即f(x)(x1)2; (2)设h(x)=x2lnxxm(x1)2+1,求其导函数,结合(1)放缩可得h(x)3(x1)2m(x1)=(x1)(3
10、2m)然后对m分类讨论求解【解答】(1)证明:由f(x)=ax2lnx(x1),得f(x)=ax2lnx(x1)=2axlnx+ax1曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0,a1=0,得a=1则f(x)=x2lnxx+1设g(x)=x2lnx+xx2,(x1)g(x)=2xlnxx+1,g(x)=2lnx+10,g(x)在1,+)上为增函数,g(x)g(1)=0,则g(x)在1,+)上为增函数,g(x)g(1)=0,即f(x)(x1)2; (2)解:设h(x)=x2lnxxm(x1)2+1,h(x)=2xlnx+x2m(x1)1,由(1)知,x2lnx(x1)2+x1=x(x1),
11、xlnxx1,则h(x)3(x1)2m(x1)=(x1)(32m)当32m0,即m时,h(x)0,h(x)在1,+)上单调递增,h(x)h(1)=0成立;当32m0,即m时,h(x)=2xlnx+(12m)(x1),h(x)=2lnx+32m令h(x)=0,得1,当x1,x0)时,h(x)h(1)=0,h(x)在1,x0)上单调递减,则h(x)h(1)=0,不合题意综上,m22. 已知函数(1)当时,求关于x的不等式的解集;(2)若关于x的不等式有解,求a的取值范围参考答案:(1);(2)【分析】(1)将代入函数,根据零点分段法去掉绝对值,分别建立不等式组,解不等式组取并集;(2)根据不等式有解等价于,又根据三角不等式得,即函数的最小值为,将问题转化为,求解即可求的取值范围.【详解】解:(1)当时,不等式为.若,则即;若,则舍去;若,则即;综上,不等式的解集为(2)因为,得到的最小值为,所以,得.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,考查绝对值的三角不等关系的应用和不等式存在解问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法:(1)定义法;即利用去掉绝对值再解(2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式;(3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如);(4)图象法或数形结合法;(5)不等式同解变形原理.