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1、北京第一八二中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知ABC中,AB=2,AC=4,O为ABC的外心,则?等于()A4B6C8D10参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出【解答】解:结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB,AC上的射影为相应线段的中点,可得,故选:B,2. 已知方程的取值范围 ( )A B C D参考答案:A3. 已知平面向量,则实数等于 A B C D 参考答案:A4. 己知函f(x)log3(x1)有两个零点,则(
2、)A、1 B、C、 D、参考答案:D5. 已知,且,则x的取值范围是( )A, 4 B., 4 C., 3 D. , 3参考答案:B6. 已知直线x9y8=0与曲线C:y=x3px2+3x相交于A,B,且曲线C在A,B处的切线平行,则实数p的值为()A4B4或3C3或1D3参考答案:B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数,设出A,B点的坐标,得到函数在A,B点处的导数值,由A,B点处的导数值相等得到3x122px1+3=3x222px2+3=m,把x1,x2看作方程3x22px+3m=0的两个根,利用根与系数关系得到x1+x2=p,进一步得到AB的中点坐标,然后再证
3、明AB的中点在曲线C上,最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值,注意检验【解答】解:由y=x3px2+3x,得y=3x22px+3,设A(x1,y1),B(x2,y2),则曲线C在A,B处的切线的斜率分别为3x122px1+3,3x222px2+3,曲线C在A,B处的切线平行,3x122px1+3=3x222px2+3,令3x122px1+3=3x222px2+3=m,x1,x2是方程3x22px+3m=0的两个根,则x1+x2=p,下面证线段AB的中点在曲线C上,=pp3,而()3p()2+3?=p3p3+p=pp3,线段AB的中点在曲线C上,由x1+x2=p,知线段的中点为(p,(p8)
4、,+p=pp3,解得p=1,3或4当p=1时,y=x3+x2+3x的导数为y=3x2+2x+30恒成立,即函数为递增函数,直线与曲线只有一个交点,舍去;p=3,或4时,y=x3px2+3x不单调,成立故选:B7. 若复数z满足 (34i)z|43i |,则z的虚部为()A、4(B)(C)4(D)参考答案:D8. 已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,点E、F分别在线段PA、PC上,且EF底面ABCD,则异面直线EF与PB所成角的大小为( )A. 30B. 45C. 60D. 90参考答案:D【分析】连接,设,由线面平行的性质定理推得,运用线面垂直的判定定理可得平面,再由线面垂直的性质定理和平
5、行线的性质,即可得到所求角【详解】解:连接,设,则平面,平面平面,由底面,可得,由四边形为菱形,可得,由为的中点,可得,又,平面,平面,可得平面,又平面,则,又,可得,即异面直线与所成角的大小为故选:D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质,考查转化思想和推理能力,属于中档题9. 若,(其中都是实数,是虚数单位),则= A B C D1参考答案:A10. 设全集UR,A ,Bx|x0 Bx | x1Cx|3x0 Dx|3x1参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数x,y满足不等式,则函数的最大值为 . 参考答案:1
6、1不等式表示区域如图中阴影部分所示,目标函数为是与直线平行的直线系,当直线向上平移时,在增大,且过点A时达到最大值,由得,从而.12. 已知,则满足不等式的实数的最小值是 . 参考答案:13. 已知函数则_参考答案:考点:1、分段函数的解析式;2、指数函数、对数函数的性质.14. 若直线l:(a0,b0)经过点(1,2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 参考答案:3+2考点:直线的截距式方程 专题:直线与圆分析:把点(1,1)代入直线方程,得到=1,然后利用a+b=(a+b)(),展开后利用基本不等式求最值解答:解:直线l:(a0,b0)经过点(1,2)=1,a+b=(a+b)()=3
7、+3+2,当且仅当b=a时上式等号成立直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为:3+2点评:本题考查了直线的截距式方程,考查利用基本不等式求最值,是中档题15. 在ABC中,D是AC边的中点,A=,cosBDC=,ABC的面积为3,则sinABD= ,BC= 参考答案:,6【考点】HT:三角形中的几何计算【分析】过B作BHAC于H,则cosBDH=,设DH=2k(k0),则BD=k,BH=k,在RtABH中,由A=,得AH=k,从而AD=3k,AC=6k,由SABC=3=3,求出BC=6,再由,能求出sinABD【解答】解:过B作BHAC于H,则cosBDH=,设DH=2k(k0)
8、,则BD=k,BH=k,在RtABH中,A=,AH=k,AD=3k,AC=6k,又SABC=ACBH=3=3,解得k=1,BC=6,在ABD中,解得sinABD=故答案为:,616. 已知三棱锥,两两垂直且长度均为6,长为2的线段的一个端点在棱上运动,另一个端点在内运动(含边界),则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 参考答案:或17. 函数( )的值域是 ;参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数.(I)当时,求函数图象在点处的切线方程;(II)当时,讨论函数的单调性;(III)是否存在实数,对任意的恒成立?若存在,
9、求出a的取值范围;若不存在,说明理由.参考答案:略19. (本小题满分13分)已知是x轴上的点,坐标原点O为线段的中点,是坐标平面上的动点,点P在线段FG上,.(1)求的轨迹C的方程;(2)、为轨迹上任意两点,且,为AB的中点,求面积的最大值.参考答案:(1)取EG的中点为H,则,PH是线段EG的垂直平分线, 2分,P点的轨迹为椭圆,设其轨迹方程为,4分则2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,. 6分(2) ,A、B、E三点共线, 8分,设AB所在直线方程为,联立,整理得,M点的纵坐标为, 11分=,当,即时,OEM的面积最大为. 13分20. (本小题满分13分)已知
10、函数在上有两个极值点,且.()求实数的取值范围;()证明:参考答案:(),由题意知方程在上有两不等实根,设,其图象的对称轴为直线,故有,解得5分( 构造利用图象解照样给分)()由题意知是方程的大根,从而且有,即,这样9分 设,=0,解得,由,;,;,知,在单调递增,又,从而,即成立。13分()另解:由题意知是方程的大根,从而,由于,9分设,h(x)在递增,即成立。13分21. 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)(I) 求x、y;(II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率。参考
11、答案:解:(I)由题意可得,所以 (II)记从高校B抽取的2人为,从高校C抽取的3人为,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有共10种设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有,共3种 所以故选中的2人都来自高校C的概率为略22. (12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示()如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;()如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望参考答案:【考点】: 离散型随机变量的期望与方差;众数、中位数、平均数;极差、方差与标
12、准差;离散型随机变量及其分布列【专题】: 计算题【分析】: (I)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差()当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求得对应的概率由此能求出这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望解:(I)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为;方差为()当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10分别从甲、
13、乙两组中随机选取一名同学,共有44=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21,事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=事件“Y=18”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树9棵”,所以该事件有4种可能的结果,因此P(Y=18)=事件“Y=19”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树10棵;或甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2+2=4种可能的结果,因此P(Y=19)=事件“Y=20”等价于“甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树9棵”,所以该事件有4种可能的结果,因此P(Y=20)=事件“Y=21”等价于“甲组选出的同学植树11棵,乙组选出的同学植树10棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(