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1、第九节 各种积分间的关系一一 格林（格林（Green)Green)公式及其应用公式及其应用二二 高斯高斯(Gauss)(Gauss)公式公式格林格林 （Green.George） 简介简介格林格林 （1793184117931841）十八世纪英国数学家）十八世纪英国数学家 8岁上学，岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表岁时发表了他的第一篇也是最重要的论文了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理论数学分析在电磁理论中的应用论中的应用”，随后又完成了三篇论文。，
2、随后又完成了三篇论文。40岁终于进入岁终于进入了剑桥大学，四年后获得学士学位。了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却包含了影响包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。世纪数学物理发展的宝贵思想。磨坊工数学家磨坊工数学家31. .区域连通性的分类区域连通性的分类一一 格林公式及其应用格林公式及其应用 设设D D为平面区域为平面区域, , 如果如果D D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D, D, 则称则称D D为为单连通区域单连通区域, , 否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复
3、连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD42. .格林公式格林公式定理定理1 1设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成,二重积分与其区域边界上二重积分与其区域边界上的曲线积分之间的联系的曲线积分之间的联系格林公式5边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界当观察者沿边界行走时行走时, ,区域区域D D总在他的左边总在他的左边. .规定注：注：1.格林公式是牛顿格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广。莱布尼兹公式的推广。2.边界是反方向，则边界是反方向，则3.区域是复连通区域时，格林公式也成立，区域是复连通区域时，格林公式也成立，边界必须是区域的整个边界。边界必须是区
4、域的整个边界。7证明：证明：(1)(1)特殊情形特殊情形yxo abDcdABCE8同理可证同理可证yxoDcdABCE9证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得1011格林公式的实质格林公式的实质: : 揭示了平面闭区域上揭示了平面闭区域上二重积分与区域二重积分与区域边界上的边界上的曲线积分曲线积分之间的联系之间的联系.123. 简单应用简单应用(1) (1) 简化曲线积分的计算简化曲线积分的计算13证证: 令令则则利用格林公式利用格林公式 , 得得14(2) (2) 简化二重积分的计算简化二重积分的计算15xyo1617解解18xyoLyxo19xyo( (注意格林公式的条件注意格林公式
5、的条件) )20(3) (3) 计算平面区域面积计算平面区域面积2122解解 由求面积的公式：由求面积的公式：24解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式区域为区域为D , 则则求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;注26 若区域若区域 如图如图为复连通域，试描为复连通域，试描述格林公式中曲线述格林公式中曲线积分中积分中L的方向的方向.思考题思考题27思考题解答思考题解答L由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：28G
6、yxo4.4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件BA如果在区域如果在区域G内有内有29说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 30定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是
7、某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 31由定理由定理2知：知：积分与路径无关，可以取路径为平行于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，即坐标轴的折线，即3233解解3435解解3637由定理由定理2 2知：知： 由于积分与路径无关，可以取路径为平行于由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，这样就可求出坐标轴的折线，这样就可求出u（x，y）。）。38及动点及动点或或则则取定点取定点称全微分方程称全微分方程39例例8 验证验证是某个是某个函数的全微分函数的全微分, 并求出这个函数并求出这个函数. 40证证: 设设由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x
8、, y) 使使。41内容小结内容小结1. 格林公式格林公式2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;3) 可用积分法求可用积分法求在域在域 D D 内的原函数内的原函数:43设设思考题思考题44提示提示:
