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1、2021-2022学年北京少林寺文武校高二数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列推断错误的是（）A命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”B命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则非p：任意xR，都有x2+x+10C若p且q为假命题，则p，q均为假命题D“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】A，写出命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0R，
2、使得x02+x0+10”的否定p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x23x+20?x2或x1，利用充分必要条件的概念可判断D【解答】解：对于A，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1则x23x+20”，正确；对于B，命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则非p：任意xR，都有x2+x+10，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x23x+20?x2或x1，故“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件，正确综上所述，错误的选项为：C，故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应
3、用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题2. 若函数f（x）=x312x在区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）Ak3或1k1或k3B3k1或1k3C2k2D不存在这样的实数k参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】由题意得，区间（k1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或2，即k12k+1或k12k+1，从而求出实数k的取值范围【解答】解：由题意得，f（x）=3x212 在区间（k1，k+1）上至少有一个实数根，而f（x）=3x212的根为2，区间（k1，k+1）的长度为2，故区间（k1，k+1）内必须含有2或2k12k+1或k12k+1，1k3
4、或3k1，故选 B3. 把化成二进制为 （ ）A.B. C. D. 参考答案：A4. 如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的.若竖直线段有一条的为第一层,有两条的为第二层,依此类推,现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.则该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率是（ ）A B C. D参考答案：C5. 已知ABC的周长为20，且顶点B (0，4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是（ ）A（x0） B（x0） C（x0） D（x0）参考答案：B略6. 已知p：则p是q的（ ）A充分不必要条件
5、 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A7. 在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（ ）A B C D参考答案：C 解析： 取的中点，取的中点，8. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）ABCD参考答案：B【考点】椭圆的简单性质【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），=3，e=故选：B9. 840和1764的最大公约
6、数是（ ）A84 B12 C168 D252参考答案：A10. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、jN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8若2014，则i、j的值分别为（ ）A64，61B63，61C64，62D63，62参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的准线方程为 参考答案：12. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为 .参考答案：13. 函数的单调递减区间为参考答案：（0，1【考点】利
7、用导数研究函数的单调性【专题】计算题【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y=x=，令其导数小于等于0，可得0，结合函数的定义域，解可得答案【解答】解：对于函数，易得其定义域为x|x0，y=x=，令0，又由x0，则0?x210，且x0；解可得0x1，即函数的单调递减区间为（0，1，故答案为（0，1【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域14. 设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是_参考答案：设直线与轴的交点为，连接，的中垂线过点，可得，又，且，即，结合椭圆的离心率，得，故离心率的取值范围是15.
8、在三棱锥中，给出下面四个命题:如果,那么点在平面内的射影是的垂心；如果，那么点在平面内的射影是的外心；如果棱和所成的角为，,、分别是棱和的中点，那么；如果三棱锥的各条棱长均为，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积不大于.其中是真命题是_ _（请填序号）参考答案：略16. 设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点 满足，则= 参考答案：2略17. 在的展开式中，的系数是 . 参考答案： 解析： ，令三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知过点D（0，2）作抛物线C1：2py（p0）的切线l，切点A在第二象限（）求点A的纵坐
9、标；（）若离心率为的椭圆（ab0）恰好经过点A，设直线l交椭圆的另一点为B，记直线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k12k24k，求椭圆方程参考答案：解：（）设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，即点的纵坐标（）由（） 得，切线斜率，设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过， 由， 将，代入得：，所以，椭圆方程为19. 已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8（） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（） 已知点B（3，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点参考答案：【考点】轨迹方程；抛物线的简单
10、性质【分析】（） 根据勾股定理，建立方程，进而求得动圆圆心的轨迹C的方程；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，直线PQ的方程代入化简，利用角平分线的性质可得kPB=kQB，可化为：16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定点【解答】解：（）设动圆圆心P（x，y），则|PM|2=|PA|2=42+x2即：（x4）2+y2=42+x2，即动圆圆心的轨迹方程为：y2=8x，（） 设两点P（x1，y1），Q（x2，y2）设不垂直于x轴的直线：l：x=ty+m（t0），则有：y28ty8m=0，所以：y1+y2=8t，y1y2=8m，因为x轴是PBQ的角平分线
11、，所以：kBP+kBQ=0即：即：2ty1y2+（m+3）（y1+y2）=0，则：16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3l：x=ty+3所以直线l过定点（3，0）20. （本小题满分13分） 已知两点，点在以为焦点的椭圆，且构成等差数列。（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值。参考答案：（）依题意，设椭圆的方程为构成等差数列， 又，椭圆的方程为 分（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得 由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得： 设， （法一）当时，设直线的倾斜角为，则， 分， ，当时，因为在上单调递增，当时，四边形是矩形，
12、所以四边形面积的最大值为 分（法二）， 分四边形的面积， 当且仅当时，故 所以四边形的面积的最大值为分21. （本小题满分12分）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积，参考答案：设容器底面短边的边长为，容积为.则底面另一边长为高为：-2分由题意知：-4分则-6分令，解之得：（舍去）又当时，为增函数 时，为减函数所以得极大值，-9分这个极大值就是在时的最大值，即此时容器的高为1.2所以当高为1.2m时，容器的容积最大，最大值为1.8m-12分22. 设ab0，分别用综合法和分析法证明：3a3+2b33a2b+2ab2
