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1、2020-2021学年广西壮族自治区柳州市市外国语高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量的夹角为且，在中， ，为中点，则（ ） A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：A2. 已知二次函数，则“”是“函数在上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：由题可知，即，因为，即二次函数对称轴小于等于1，因此函数在上递增或是递减；而函数在上为增函数，则有，即，；因此“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件；考点：二次函
2、数的图像与性质3. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A B C D参考答案：C4. 设等差数列an的前n项和为Sn，若，则（ ）A9 B15 C18 D36 参考答案：C5. 方程的解是（A） （B） （C） （D）参考答案：D略6. 已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（ ）A. 2B. C. D. 参考答案：B【分析】设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立
3、方程组，即可得出结果.【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，选B【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.7. 函数的图象大致是参考答案：D略8. 已知；，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 A或 B或 C D参考答案：C 9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意的，总有，则下列说法正确的是 （ ）（A） f(x)-1是奇函数 （B）f(x)+1是偶函数 （C）f(x)-2011是偶函数 （D）f(x)+2011是奇函数参考
4、答案：D略10. 设，则（ ）A abc B acb C bca D bac参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：12. 若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是 . 参考答案：(-1,0)略13. 如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值是_.参考答案：1114. 在区间1，
5、1内随机取两个实数x，y，则满足yx21的概率是 参考答案：【考点】CF：几何概型【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可【解答】解：由题意可得，在区间1，1内随机取两个实数x，y，对应的区域是边长为2的正方形，如图，面积为4，满足yx21的区域为图中阴影部分，面积为2+=2+（x）|=满足yx21的概率是故答案为：；15. 若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则?=参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【分析】由等边ABC的边长为2，可得=22cos60由=+，可得，进而得到=， =即可得出?=【解答】解
6、：等边ABC的边长为2，CA=CB=2， =22cos60=2=+，=， =?=故答案为：16. 若函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则的展开式中的常数项为 （用数字作答）参考答案：1517. 在中，所对的边分别为，若，则面积的最大值为 参考答案：试题分析：，而，所以，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过
7、程或演算步骤18. 如图，在三棱柱中，侧面，与相交于点,是上的点，且平面，.（）证明：平面；（）若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值.参考答案：（）证明：（法一）作中点,连结.因为是中点,所以,又平面, 且平面平面.所以，所以四边形是平行四边形.所以, 所以是中点.3分因为在中，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面6分证明：（法二）作中点,连结.因为是中点,所以，且平面,平面.所以平面,又平面, 且.所以平面平面,又平面.所以平面,又平面且平面平面.所以,所以是中点. 3分因为在中，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面.
8、6分（）解：因为，所以异面直线和所成角为直线和所成角，即 在中， 所以.8分由（）问知，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则,所以，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取则，取 所以，即二面角的平面角的余弦值为.12分19. 过原点O作两条相互垂直的射线，分别交椭圆C：于P、Q两点。(1)证明：为定值；(2)若椭圆C：的长轴长为4，离心率为，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为D，求点D的轨迹方程。参考答案：20. 若f（x）=x1alnx（aR），g（x）=（1）当a=时，求函数f（x）的最值；（2）当a0时，且对任意的x1，x24，5（x1x2），|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x
9、2）|恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值且为最小值，无最大值；（2）当a0时，f（x）=10在x4，5上恒成立，可得函数f（x）在x4，5上单调递增利用g（x）0在x4，5上恒成立，可得g（x）在x4，5上为增函数不妨设x2x1，则|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|恒成立|恒成立?f（x2）f（x1）g（x2）g（x1）恒成立，即f（x2）g（x2）f（x1）g（x1）在x4，5上恒成立设F（x）=f（x）g（x）=xalnx1则F（x）在x4，5上为减函数分离参数利用导数进一步研究
10、即可得出【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=x1lnx（x0），导数为f（x）=1=，当x时，f（x）0，f（x）递增；当0x时，f（x）0，f（x）递减可得f（x）在x=处f（x）取得极小值，且为最小值1+1=，无最大值；（2）当a0时，f（x）=10在x4，5上恒成立，函数f（x）在x4，5上单调递增，g（x）=，g（x）=0在x4，5上恒成立，g（x）在4，5上为增函数当a0时，且对任意的x1，x24，5（x1x2），|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|恒成立，即f（x2）g（x2）f（x1）g（x1）在x4，5上恒成立设F（x）=f（x）g（x）=xalnx1则F（x）
11、在x4，5上为减函数F（x）=10在x4，5上恒成立，化为axex+恒成立设H（x）=xex+，H（x）=1ex+=1ex（1+）=1ex（）2+，x4，5ex（）2+e31，x4，5H（x）0在x4，5上恒成立，即H（x）为减函数H（x）在x4，5上的最大值为H（4）=4e4+e4=4e44e4a021. （本题满分12分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若
12、不是说明理由.参考答案：（）解法一：设椭圆方程为，则， 得. 设，则，两式相减得，由抛物线定义可知，则或 （舍去） 所以椭圆方程为，抛物线方程为. 解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线， 作轴于，则由抛物线的定义得，所以 ， 得，所以c1，OM= (，得）, 因而椭圆方程为，抛物线方程为.（）设把直线 22. 按照我国机动车交通事故责任强制保险条例规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情況如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表保类型浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
