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1、2020-2021学年广东省揭阳市大观楼中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知中,BC=3,AC=4,AB=5点P是三边上的任意一点,m=,则m的最小值是 A.-25 B. C. D.0参考答案:【答案解析】B 解析:由已知得是以C为直角顶点的直角三角形,所以以C为原点,CA所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),设P(x,y),则,所以(1) 当点P在线段CA上移动时,y=0, ,所以此时,当x=2时m有最小值-4;(2) 当点P在线段CB上移动时, ,所以此时,当y
2、= 时m有最小值;(3) 当点P在线段AB上移动时, 且,所以此时,当x=2时m有最小值.故选B.【思路点拨】根据题意建立直角坐标系,利用数量积的坐标运算,把问题转化为函数最值求解.2. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+x3,则f(x)的零点个数为()A1B2C3D4参考答案:C【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题;数形结合;分析法;函数的性质及应用【分析】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点,再令x0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函数的对称性确定答案【解答】解:函数f(x)是定义域
3、为R的奇函数,f(0)=0,所以0是函数f(x)的一个零点,当x0时,令f(x)=2x+x3=0,则2x=x+3,分别画出函数y=2x,和y=x+3的图象,如图所示,有一个交点,所以函数f(x)有一个零点,又根据对称性知,当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述,f(x)的零点个数为3个,故选:C【点评】本题是个基础题,函数的奇偶性是函数最重要的性质之一,同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用,此题就与函数的零点结合,符合高考题的特点3. 运行如右图的程序后,输出的结果为 () A13,7 B7, 4 C9, 7 D9, 5参考答案:C第一次,时,.第二次,第三次条件不成立,打印,选C
4、.4. 已知P(x,y)(其中x0)为双曲线x2=1上任一点,过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A、B,则PAB的面积为()ABCD与点P的位置有关参考答案:C【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意,O,P,A,B四点共圆,APB=AOB,tan=2,sinAOB=,求出|PA|PB|,即可得出结论【解答】解:由题意,O,P,A,B四点共圆,APB=AOB,tan=2,sinAOB=,设P(x,y),双曲线的渐近线方程为y=2x,则|PA|PB|=,PAB的面积为?=故选C5. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值
5、为( ) A B8 C D6参考答案:B 设椭圆长轴长为,双曲线实轴长为,焦距为,有题意可得,又,则6. 抛物线的焦点坐标为 ;参考答案:略7. 三个数a=()1,b=2,c=log3的大小顺序为()AbcaBcabCcbaDbac参考答案:C【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解:,1=20b=22,c=log3,c=log3=0,cba故选:C8. 过点和点的直线在轴上的截距为( )、 、 、 、参考答案:D略9. 设随机变量服从正态分布,若,则函数没有极值点的概率是()A0.2B0.3C0.7D0.8参考答案:C10. 方程有两个不等实根,则k的取值
6、范围是 ( ) 参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数的最小正周期与函数的最小正周期相等,则正实数的值为_ 参考答案:12. 若函数y=f(x)的值域是1,3,则函数F(x)=12f(x+3)的值域是_参考答案:5,1略13. 在中,则_ _;参考答案:14. 已知向量a = (2,l) ,ab =10,|a+b| =,则 |b|=_参考答案:515. 已知等差数列an的前n项和为Sn,若3,a7,a5也成等差数列,则S17参考答案:51【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列通项公式求出a1+8d=3再由=17(a1+8d),能求出结果【解答】解:等
7、差数列an的前n项和为Sn,3,a7,a5也成等差数列,2(a1+6d)=3+(a1+4d),a1+8d=3=17(a1+8d)=51故答案为:51【点评】本题考查等差数列的第17项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用16. 数列的通项公式,前项和为,则_。参考答案:301817. 方程的解为_.参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知F1(1,0),F2(1,0)为平面内的两个定点,动点P满足|PF1|+|PF2|=2,记点P的轨迹为曲线M点O为坐标原点,点A、B、C是曲线M上的不同三点,且+=()求直线
8、AB与OC的斜率之积;()当直线AB过点F1时,求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积参考答案:考点: 直线与圆锥曲线的综合问题专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题分析: (I)由椭圆的定义可知:点P的轨迹是以F1(1,0)F2(1,0)为焦点的椭圆可得椭圆方程为x2+2y2=2,设A(x1,y1),B(x2,y2)由于点A,B在椭圆上,可得,上面两式相减,化为?=设C(x3,y3)由得x1+x2=x3,y1+y2=y3利用斜率计算公式即可得出()当直线ABx轴时,此时不妨设,B,又+=,可得点C不在椭圆上,此时不符合合题意当直线AB的斜率存在,直线AB过点F1(1,0),设直线AB的方程为
9、y=k(x+1)代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+4k2x+2k22=0,利用根与系数的关系斜率坐标运算可得:点C(,),代入椭圆方程可得,分别讨论利用三角形面积计算公式即可得出解答: 解:()|F1F2|=2,点P到两定点F1(1,0)F2(1,0)的距离之和为定值,点P的轨迹是以F1(1,0)F2(1,0)为焦点的椭圆则,曲线M的方程为方程可化为x2+2y2=2,设A(x1,y1),B(x2,y2)点A,B在椭圆上,上面两式相减,得(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0,整理得?=设C(x3,y3)由得x1+x2=x3,y1+y2=y3又kOC=直线AB与OC的斜率
10、之积是定值()当直线ABx轴时,此时不妨设,B,又+=,=(2,0),点C(2,0),则点C不在椭圆上,此时不符合合题意当直线AB的斜率存在,直线AB过点F1(1,0),设直线AB的方程为y=k(x+1)代入椭圆方程联立化为(1+2k2)x2+4k2x+2k22=0,则,x3=(x1+x2)=,点C(,)在椭圆上,代入椭圆方程+=1,整理得,(1)当时,由(I)知,则AB,OC及x轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为l,且底边上的高,此时AB,OC及x轴所围成三角形的面积(2)当时,同理可得AB,OC及x轴所围成三角形的面积综上所得,直线AB,OC与x轴所围成的三角形的面积为点评: 本题考查
11、了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形面积计算公式等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题19. 函数(1)若f(x)在x=2处取得极值,求p的值;(2)若f(x)在其定义域内为单调函数求p的取值范围;(3)若在1,e上至少存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立,求p的取值范围参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性【分析】(I)求导函数,利用f(x)在x=2处取得极值,可得f(2)=0,从而可求p的值;(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,则f(x)0
12、或f(x)0恒成立,若f(x)0恒成立,则在(0,+)上恒成立,即;若f(x)0恒成立,则在(0,+)上恒成立,即,由此可求p的取值范围;(III)先确定g(x)的值域为2,2e再分类讨论,确定f(x)的值域,利用在1,e上至少存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立,构建不等式,即可求p的取值范围【解答】解:(I)f(x)=f(x)在x=2处取得极值,f(2)=0,p=;(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,则f(x)0或f(x)0恒成立若f(x)0恒成立,则在(0,+)上恒成立,即若f(x)0恒成立,则在(0,+)上恒成立,即令=x=1时,h(x)max=1;x0或x+时,h(x)m
13、in0p0或p1;(III)g(x)在1,e上单调递减,g(x)的值域为2,2e若p1,由(II)知,f(x)在1,e上单调递增,f(x)的值域为0,在1,e上至少存在一点x0,使得f(x0)g(x0)成立,p;若p0,由(II)知,f(x)在1,e上单调递减,f(x)的值域为,0f(x)max=02=g(x)min,此时不满足题意若0p1,则,函数在1,e上单调递增ee2=g(x)min,此时不满足题意综上,p20. (本小题满分12分)已知(I)若,求曲线处的切线方程;(II)若,求函数的单调区间.参考答案:21. (本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为, 点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形()求椭圆的方程;()过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点参考答案:解:()由已知可得 ,所求椭圆方程为 4分()若直线的斜率存在,设方程为,依题意设,由 得 则6分由已知,所以,即所以,整理得 故直线的方程为,即()10分所以直线过定点()若直线的斜率不存在,设方程为,设,由已知,得此时方程为,显然过点()11分 综上,直线过定点()