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1、广东省汕头市西胪中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取0，3上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A4BC5D参考答案：B【考点】进行
2、简单的演绎推理【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S=；故选：B【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述2. 为得到函数y=2cos2xsin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin
3、（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：y=2cos2xsin2x=cos2xsin2x+1=2sin（2x）+1=2sin（2x）+1=2sin（2x+）+1，将函数y=2sin2x+1的图象向左平移个长度单位，可得得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，故选：C3. 若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为()A. 3 B. C. D. 参考答案：A4. 将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为 （ ）A B C D 参考答案：D略5. 某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长
4、度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A3+2B6+4C6D10参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，根据已知求出长宽高，代入长方体表面积公式，可得答案【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，由题意得：，解得：，故该长方体的表面积S=2（xy+xz+yz）=6+4，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状6. 的展开式中项的系数为（ ）A-16 B16 C. 48 D-48参考答案：A7. 已知函数,若有,则的取值范围.A. B. C. D. 参考答案：B略8.
5、已知函数，那么的值为（ ）A32B16C8D64参考答案：C，9. 在复平面内，复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限参考答案：C10. 定义在上的函数满足：则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为（ ）. . . .参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为(R)，它与曲线（为参数)相交于两点A和B，则 参考答案：略12. 设函数则= 参考答案：413. 一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人
6、忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为_参考答案： 解析：14. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_参考答案：略15. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是 参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alnaa，再求导，求最值即可【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，
7、得y=，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，y=1，x=a，切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alnaa，b=lna+11=0，可得a=1，函数b=alnaa在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，a=1时，b取得最小值1故答案为：1【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力16. 设实数满足条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为 参考答案：217. 函数的定义域是 。参考答案：【知识点】函数的定义域B1(1,2) 解析：由函数解析式得，解得1x2，所以函数
8、的定义域为(1,2).【思路点拨】由函数的解析式求其定义域就是求是函数解析式有意义的自变量构成的集合，常见的条件有分式的分母不等于0，对数的真数大于0，开偶次方根根式下大于等于0等.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分15分）已知函数（）求函数的单调区间；（）设函数（）是否存在实数、，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案：当时，在，在上单调递减在，在上单调递增即 （） 13分由（1）知在上单调递减故，而 不等式（）无解 15分综上所述，存在，使得命题成立略19. （本小题满分12分）将同样大小的颜色为红、黄、蓝
9、、白的4个小球放入编号为1、2、3、4、5的五个格子中，每个格子的容量均大于4个，请计算：（1）恰有2个格子为空格的概率；（2）放入小球最多的格子中球的数量的分布列和期望参考答案：（1） （4分）（2）设放入小球数量最多的格子中球的数量为x，则 , , x1234p（10分） （12分）20. 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为 .(I)求椭圆的方程;() 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率 .参考答案：（）由已知，可得.又由，可得，解得设椭
10、圆方程：，当直线斜率不存在时，线段长为；当直线斜率存在时，设方程：，由，得，从而，4分易知当时，的最小值为，从而，因此，椭圆的方程为：.（）由第（）问知，而的半径，又直线的方程为，由，得，因此， 由题意可知，要求的最大值，即求的最小值而，令，则，因此, 当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以的最大值为.综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.21. （本小题满分12分）已知函数的一系列对应值如下表：xy(I)求的解析式；(II)在中，若，, 求的面积。参考答案：(I)由图表知，周期，解得；2分又由第一关键点，得，解得；4分；所求6分(II) 在中，得，由，则，所以或，解得或.8
11、分由余弦定理得，而,；当时，得，解得,此时；10分当时，得，解得,此时；综上，所求的面积为或12分22. 如图，梯形ABCD中，BAD=ADC=90，CD=2，AD=AB=1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF丄平面ABCD（1）求证：DFCE（2）若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG平面EFC？并说明理由参考答案：【考点】LV：平面与平面平行的性质；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）通过证明：DF平面BCE，即可证明DFCE（2）棱AE上存在点G， =，使得平面OBG平面EFC，证明OB平面EFC，OG平面EFC，即可证明结论【解答】（1）证明：连接EB，梯形ABCD中，BAD=ADC=90，CD=2，AD=AB=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，平面BDEF丄平面ABCD，平面BDEF平面ABCD=BD，BC平面BDEF，BCDF，DFEB，EBBC=B，DF平面BCE，CE?平面BCE，DFCE（2）解：棱AE上存在点G， =，使得平面OBG平面EFCABDC，AB=1，DC=2，=，=，OGCE，EFOB，OB平面EFC，OG平面EFC，OBOG=O，平面OBG平面EFC【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判断，考查面面平行的判定，属于中档题
