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1、湖南省湘潭市九华中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若ab0，则下列结论中正确的是（）Aa2b2Babb2C（）a（）bD+2参考答案：D考点： 不等式比较大小专题： 不等式的解法及应用分析： 利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出解答： 解：ab0，a2b2，abb2，=2因此只有D正确故选：D点评： 本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点，若，则双曲线的
2、离心率为（ ）ABCD参考答案：D略3. 函数的图象大致是参考答案：C4. 函数f（x）=Asin（x+），（0）的部分图象如图所示，则( )AA=2，=BA=2，=CA=2，=DA=2，=参考答案：A考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的最值求得A，根据特殊点的坐标求出的值，可得结论解答：解：由函数f（x）=Asin（x+），（0）的部分图象可得A=2，再把（0，）代入，可得2sin=，即sin=，=，故选：A点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求得A，根据特殊点的坐标求出的值，属于基础题5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何
3、体的表面积为（ ）A.54 B.60 C.66 D.72参考答案：B6. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在 ( )A第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限参考答案：D略7. )的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为( )Ay=sin(x+) By=sin(x-)Cy=sin(2x+) Dy=sin(2x-)参考答案：【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 C4【答案解析】C 解析：由函数的图象可得A=1，=，求得=2再根据五点法作图可得2+=，求得=，故函数的解析式为 y=sin（2x+），故选：C【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由
4、五点法作图求出的值，可得函数的解析式8. 设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）A4B3C2D1参考答案：D【考点】两点间的距离公式；双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程，算出c=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|MT|=4a=1，得到本题答案【解答】解：MO是PF1F2的中位线，|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c=5，|OF1|=5，PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=
5、3，RtOTF1中，|FT1|=4，|MO|MT|=|=|PF2|（|PF1|F1T|）=|F1T|（|PF1|PF2|）=4a=1故选：D9. 已知函数有两个极值点，且，则直线的斜率的取值范围是A. B. C. D. 参考答案：A10. 已知函数的反函数，则的图象 （ ）A关于点对称 B关于点对称 C关于点对称 D关于点对称参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （文）已知，关于的不等式的解集是 .参考答案：原不等式等价为，即，因为，所以不等式等价为，所以，即原不等式的解集为。12. 当时，4xlogax，则a的取值范围参考答案：【考点】指、对数不等式的解法【分
6、析】若当时，不等式4xlogax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示若不等式4xlogax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足a1故答案为：（，1）13. 如图，在三角形ABC中，ADAB， _. 参考答案：14. 在中，、所对的边分别为、，若，、分别是方程的两个根，则等于_参考答案：4 15. 三棱锥中, , 是斜边的等腰
7、直角三角形, 则以下结论中: 异面直线与所成的角为; 直线平面; 面面; 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是 _ . 参考答案：答案： 16. A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上一动点，若 ，则的取值范围为_.参考答案：【分析】以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在 轴上方且线段 与 轴垂直，分别表示出，两点的坐标，求出 、向量，即可表示出向量，由于是劣弧（包含端点）上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围。【详解】如图以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在 轴上方且线段 与 轴垂直， ，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为
8、， 点 ，点，即，又是劣弧（包含端点）上一动点, 设点坐标为， ， ，解得： ，故的取值范围为【点睛】本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，属于中档难度题。17. 若复数是纯虚数，则实数的值为_。参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围； （）若对任意，且恒成立，求的取值参考答案：（）设，则，只要在上单调递增即可。而当时，此时在上单调递增；当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点
9、（0，1），对称轴，只需，即. 综上.略19. （本题满分12分）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)将沿折起到的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)（）求证:平面；（）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由参考答案：(1)因为等边的边长为3,且, 所以, 在中, 由余弦定理得 因为, 所以3分折叠后有,因为二面角是直二面角,所以平面平面 ,又平面平面,平面, 所以平面6分(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为 如图,作于点,连结、 ，由(1)有平面,而平面, 所以,又, 所以平面, 所以是直线与平面
10、所成的角 , 8分设,则,在中,所以 ,在中, ,由, 得 ,解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 12分解法2:由(1)的证明,可知,平面 以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则, ,所以,所以 ,因为平面, 所以平面的一个法向量为 , 9分因为直线与平面所成的角为, 所以, 解得 ,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 12分20. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）函数恰有两个零点，求函数的单调区间及实数的取值范围. 参考答案：（1）；（2）.试题分析：
11、（1）依题意可知，切线的斜率为，即，由此解得；（2）先求得的表达式，利用导数可求得的极小值，也即是最小值，只需最小值小于零就可以.由此求得取值范围是.试题解析：（1）函数的定义域为. 1分由，且，解得a=1. 3分(2)因为则 . 5分（）当即时，所以g(x)在上单调递减此时只存在一个零点，不合题意. 6分（）当m1时，令，解得 . 7分当x变化时，g(x)与的变化情况如下表：x(0,)0+g(x)极小值由题意可知，. 9分综上，m的取值范围是. 14分考点：函数导数与不等式【方法点晴】确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从
12、而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理21. （本小题满分12分）已知椭圆：（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为64（）求椭圆的方程；（）设直线：与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求的值参考答案：解：（）由题意，
13、可得 ， 即,1分又，即所以， 所以，椭圆的方程为. 4分（）由消去得. 5分设，有，. 6分因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以 . 7分由 ，,得 .8分将代入上式，得 , 10分 将 代入上式，解得 ，或12分略22. 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分100分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的产品为一等。(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望。参考答案：
