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1、2020-2021学年吉林省长春市九台市实验中学高一数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）ABCD参考答案：D考点：棱柱的结构特征 专题：空间角分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值解答：连接BD，；DD1平面ABCD，BD是BD1在平面ABCD的射影，DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，cosDBD1=；故选：D点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础
2、题2. 已知，则与满足（ ） A B C D不能确定参考答案：B略3. 设全集，集合，则下列关系中正确的是（ ） A B C D参考答案：C4. 从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个红球与都是黑球 C. 至少有一个黑球与至少有个红球 D. 恰有个黑球与恰有个黑球参考答案：D5. 设全集，集合，若，则这样的集合P的个数共有( )A5B6C7D8参考答案：D6. 下列分别为集合A到集合B的对应：其中，是从A到B的映射的是（）A（1）（2）B（1）（2）（ 3）C（1）（2）（4）D（1）（2）（3）（4）参考答案：A【考
3、点】映射【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据映射的定义，对四个对应关系进行分析、判断即可【解答】解：映射的定义是：集合A中任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，由此对应即可构成映射；对于（1），能构成映射，因为集合A中每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应；对于（2），能构成映射，因为集合A中每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应；对于（3），不能构成映射，因为集合A中元素a在集合B中对应的元素是x和y，不唯一；对于（4），不能构成映射，因为集合A中元素b在集合B中无对应元素，且c在集合B中对应的元素是y和z，不唯一综上，从A到B的映射的是（1）、
4、（2）故选：A【点评】本题考查了映射的概念与应用问题，是基础题目7. 在边长为1的正方形ABCD中，等于（ ）A. 1B. C. D. 2参考答案：A【分析】利用向量內积的计算公式得到答案.【详解】答案为A【点睛】本题考查了向量乘积公式，属于简单题.8. c已知，若，则m=（ ） A.3 B. C.2 D.参考答案：B略9. 直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的相邻两点间的距离是（）ABCD参考答案：C【考点】正切函数的图象【分析】根据直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，得出结论【解答】解：直线y=2016与正切曲线y=tan3
5、x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，即，故选C10. 设数列的前n项和，则的值为（ ）A15B16C49D 64参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙二人各自选择中午12时到下午1时随机到达某地，他们约定：先到者等候15分钟后再离开，则他们能够会面的概率为 参考答案：略12. 已知，若，则 参考答案：16由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.13. 已知函数f（x）=mx1，g（x）=x2（m+1）x1，若对任意的x00，f（x0）与g（x0）的值不异号，则实数m的值为参考答案：略14. 若，则的表
6、达式为 参考答案：略15. 已知为锐角，则 参考答案：16. 若，则 参考答案： 17. 若点的坐标为（，），则点的坐标为 参考答案：(1,3)略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 定义在（1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1a）+f（1a2）0，求实数a的取值范围参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；奇函数【专题】计算题【分析】先根据奇函数将f（1a）+f（1a2）0化简一下，再根据f（x）是定义在（1，1）上的减函数，建立不等式组进行求解即可【解答】解：f（x）是奇函数f（1a）f（1a2）=f（a21）f（x）是定
7、义在（1，1）上的减函数解得：0a10a1【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的奇偶性的应用，属于中档题19. 【题文】如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.（2）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)参考答案：（）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，. 所以 ，. （
8、）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值. .故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.20. 已知函数.在一个周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当时，函数的图像与轴有交点，求实数的取值范围参考答案：解：（1）；（2）递增区间；对称中心；（3），所以.略21. 已知数列an的首项a1=2，前n项和为Sn，总是成等差数列（1）证明数列an为等比数列；（2）求满足不等式的正整数n的最小值参考答案：【考点】88：等比数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合【分析】（1）根据题意可得4an=6Sn43Sn1，根据数列的递推公式可得数列的通项公式，即可证明，（2）分n为奇数和n为偶数两种情况，即可得出【解答】解：（1），整理得：4an=6Sn43Sn1，（n2），4an1=6Sn143Sn2，（n3），相减得：4an4an1=6an3an1，（n3），即，（n3），又，得a2=1，即，综上，数列an是以为公比的等比数列（2），当n为奇数时，当n为偶数时，此时无解综上得正整数n的最小值为322. 化简再求值：，其中，。参考答案：
