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1、2022年安徽省黄山市焦村中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在区间1,2上单调递增，则的取值范围是（ ）AB C D参考答案：B略2. 已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）ABCD参考答案：C【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得
2、G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积【解答】解：作出抛物线的准线l：x=1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于E=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m因此，RtABE中，cosBAE=，得BAE=60直线AB的倾斜角AFx=60，得直线AB的斜率k=tan60=则直线l的方程为：y=（x1），即xy=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x210x+3=0，则x1+x2=，x1x2=1，则y1+y2=（x11）+（x21）=，=，AB
3、中点E（，），则EG的方程的斜率为，则EG的方程：y=（x），当x=0时，则y=，则G（，0），则G到直线l的距离d=，丨AB丨=x1+x2+p=，则SABG=丨AB丨?d=，故选C【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题3. 设集合，则MN=（ ）A1,2 B(1,3) C1 D1,2参考答案：D ，所以，故选D4. 已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A B C D 参考答案：C设 ，则 .在R上 有恒成立 在R上恒成立，即 在R上为减函数. ，故A
4、，B不正确. 故选C.5. 已知定义在R上的奇函数，则不等式的解集为（ ）A. （1，6）B. （6，1）C. （2，3）D. （3，2）参考答案：D【分析】利用函数的奇偶性定义求出，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解.【详解】函数是定义在上的奇函数所以，化简得 即且在上单调递增，解得： 故选D【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.6. 函数对任意满足，且时，则下列不等式一定成立的是 ( ) 参考答案：C7. 函数满足，若，则等于（ ）.13 .2 . .参考答案：C略8. 复数Z满足(i为虚数单位)，则在复平面上，复数z对应
5、的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A9. f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为( )A3B3C8D8参考答案：C10. 如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ）A B C D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，为圆的直径，弦、交于点，若，则_.（不作近似计算）参考答案：12. 函数在区间上的取值范围是 参考答案：-2,113. 设函数，若，则的值为 参考答案：214. 设正数满足, 则当 _时, 取得最小值. 参考答案：15. 设函数_.参考答案：令得，
6、即。令得。令得。16. 已知集合，B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，则实数m的取值范围是 。参考答案：2m4略17. 函数的最小正周期为.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上（1）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（2）当=时，求二面角BCDB1的余弦值参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行；（2）
7、建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：连接BC1，交B1C于E，连接DEABCA1B1C1是直三棱柱，D是AB中点侧面BB1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线DEAC1，又DE?平面B1CD，AC1?平面B1CDAC1平面B1CD（2）AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2ACBC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）设D （a，b，0）（a0，b0），点D在线段AB上，且=，即=a=，b= =（3，0，4），=（，0）显然=（0，
8、0，4）是平面BCD的一个法向量设平面B1CD的法向量为=（x，y，z），那么由?=0， ?=0，得，令x=1，得=（1，3，）cos=又二面角BCDB1是锐角，故其余项值为【点评】本题考查线面平行的判定及二面角的求法求二面角的方法：法一、作二面角的平面角证明符合定义解三角形求解；法二、向量法，求得两平面的法向量，根据cos=求解19. 已知数列的前项和为,(1)求数列的通项公式；（2）若，求的值.参考答案：(1)6分(2),12分略20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为C椭圆上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设.（1）若点P
9、的坐标为(2,3)，求椭圆C的方程及的值；（2）若，求椭圆C的离心率的取值范围.参考答案：（1）；（2）分析】（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.【详解】（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，所以，解得，所以椭圆的方程为.所以，直线的方程为，将代入椭圆的方程，解得，所以.（2）因为轴，不妨设在轴上方，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.（方法一）因为，由得，解得，所以.因为点在椭圆上，所以，即，所以，从而.因为，所以.
10、解得，所以椭圆的离心率的取值范围.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 圆锥曲线中的离心率的计算或范围问题，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系或不等式关系，其中不等式关系的构建需要利用题设中的范围、坐标的范围、几何量的范围或点的位置等21. （本小题满分16分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆” 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）若过点的直线与椭圆只有一个公共点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（3）过椭圆 “伴椭圆”上一动点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值，并说明理由参考答案：22. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，对角线与相交于点，底面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值. 参考答案：解：（1）取的中点，连接，因为为的中位线，所以平行且等于，在菱形中，平行且等于，又为的中点，故平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以，又面，面，所以平面.（2）.取的中点，连接，因为为的中点，故，因为底面，所以面，故为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.（建系也可以）
