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1、辽宁省沈阳市拔萃中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为 ( ）A B C D 参考答案：D2. 在ABC中，C=90，且CA=CB=3，点M满足等于（）A2B3C4D6参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算【分析】由?=（）?，再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出? 的值【解答】解：由题意得 AB=3，ABC是等腰直角三角形，?=（）?=+=0+|?|cos45
2、=33=3，故选B3. 已知点O为ABC内一点，且则AOB、AOC、BOC的面积之比等于 A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1：2：3参考答案：C,延长到，使,延长到，使，连结,取的中点，则所以三点共线且为三角形的重心，则可以证明。在AOB中，B为OB边中点，所以,在AOC中，C为OC边近O端三等分点，所以。在BOC中，连BC，B为OB边中点，所以，在BOC中，C为OC边近O端三等分点，所以，因为，所以AOB： AOC： BOC面积之比为，选C.4. 下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )ABCy=x3Dy=tanx参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合【专
3、题】阅读型【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增故选B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项5. 函数的零点所在的区间是（ ）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）参考答案：B6. 数
4、列，已知对任意正整数n，2n1，则等于()A. (2n1)2 B. (2n1) C. (4n1) D. 4n1参考答案：C略7. 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80100分的学生人数是（ ）A15 B18 C20 D25参考答案：A8. 已知函数f(x)，则f()A. BeC De参考答案：A9. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A B C D参考答案：C10. 若框图所给的程序运
5、行结果为S20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()Ak9? Bk8? Ck8? Dk8?参考答案：【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】D k=10，s=1，不输出，k的值满足判断框中的条件经过一次循环得到s=11，k=9，此时不输出，k的值满足判断框中的条件再经过一次循环得到s=20，k=8输出，k的值满足判断框中的条件即k=10，k=9满足判断框中的条件；而k=8不满足判断框中的条件所以判断框中的条件是k8故选D【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，由结果中的s的值，判断是否需要输出；得到k取什么值满足条件，取什么值不满足条件；得到判断框中的条件二、 填空题:本大题共7
6、小题,每小题4分,共28分11. 已知数列：，那么数列=的前项和=_;参考答案：;12. 某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为时，则他的识图能力为 参考答案：由表中数据得，由在直线，得，即线性回归方程为所以当时，即他的识图能力为故填【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用解题关键是求出线性归回方程中的值，方法是利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上13. 是平面上一点，是平面上不共线三点，动点满足，时， 则）的值为_；参考答案：014. 设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的
7、底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为_参考答案：8略15. 曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_参考答案：y=3x+1考点：导数的几何意义专题：计算题分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y=ex+x?ex+2，y|x=0=3，切线方程为y1=3（x0），y=3x+1故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题16. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为_参考答案：6【分析】作出不等式组对应的平面区域，将目标函数化为，利用数形结合即可的得
8、到结论【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得直线l：，平移直线l，由图象可知当直线l经过点时截距最小，此时最大，即的最大值是6。【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键17. 设等差数列的前n项和为，若=1，则其公差为 参考答案：6三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知椭圆()的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为. （）求椭圆的方程；（）四边形的顶点在椭圆上，且对角线均过坐标原点，若.(i) 求的范围；(ii) 求四边形的面积.参考答案：（I）由已知，2分于是3分所
9、以椭圆的方程为4分（II）当直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2. 5分当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为，设联立，得 6分 7分 8分= 9分 10分 因此， 11分另解：设直线方程：，方程：分别求出的坐标 占2分分情况讨论， 0时，分析 所在的象限，求范围占3分同理时占1分结论占1分(ii)设原点到直线AB的距离为d，则 13分.14分19. （本小题满分12分）设函数（）求函数的单调递增区间；（）若，且，求的值参考答案：解析: = 2分（）令，则，函数f(x)的单调递增区间为 4分（）由（）， 6分故， 10分 12分略20. 平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）
10、.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）射线与曲线C、直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再由可得出曲线的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，根据题意得出、关于的表达式，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可求得的最大值.【详解】（1）将曲线的参数方程变形为（为参数），消去参数得，即，因此，曲线的极坐标方程为，即；（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，将点的极坐标代入曲线的极坐标方程得，将点的极坐标代入直线的极坐标方程得，所以，当
11、时，即当时，取得最大值.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决最值问题，涉及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧面PCD底面，PDCD,E为PC中点，底面是直角梯形， ABCD，ADC=90, AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面 ()设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP的大小为45参考答案：证：（）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面 4分（）平面底面，所
12、以平面，所以如图，以为原点建立空间直角坐标系则，所以又由平面，可得，所以平面 8分（）平面的法向量为，所以，设平面的法向量为，由，得，所以，所以，注意到，得 12分22. 如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东角的N处住有一位医学专家，其中现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？参考答案：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，N点的坐
