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1、精选word文档 下载可编辑 19第二章 数理统计的基本概念1总体、样本及统计量（1）总体X是指研究对象的全体，是一个R.V.（随机变量）含有未知参数（2）从总体X中随机抽取一个子样X1，X2Xn（样本容量为n），满足：与X具有相同分布，且X1，X2Xn相互独立，称X1，X2Xn是X的一个简单随机样本常用的统计量（不含任何未知参数的样本函数）样本均值（算术平均值）若，由辛钦大数定理可近似代替总体均值，又由样本相互独立且与总体同分布。 样本方差：也称为样本方差,是的有偏估计，但是一个渐近无偏估计 而,是的无偏估计.2. 四个重要分布正态分布：为密度函数，图形关于为对称，若，则，称为标准正态分布为
2、它的密度函数且有： 密度函数为偶函数（概率积分）其分布函数：可查表求其值：如又若一般正态分布则，为标准差以上过程称为标准化当，对，可查表求Z，使及如，则（查0.975表）又如 ，则（查0.95表）以及例：某地区电压X是一个R.V.，XN(220,252)，可分为三种状态，小于200V，介于200240V之间，高于240V，电子设备在三种状态下故障的概率分别为0.1、0.001、0.2，求设备出故障的概率解：假设表设备出故障，Bi(i=1，2，3)分别表示三种状态由全概率公式：若设备已出故障，分别求在三种状态下出现的概率解：由贝叶斯公式：同理2-分布设XN(0,1)，X1、X2Xn是样本，则1即
3、n个相互独立的标准正态分布R.V.的平方和服从自由度为n的卡方分布2其中为伽玛函数，若n为正整数利用分部积分法可推出又由令，两边微分有即递推关系式：(s+1)=s(s)，3若，且、相互独立证明： 由、相互独立4若证明：由5可查表求其值对01，22(n)有取=0.05，n=8，查表及t-分布1结构：若，且X,Y相互独立则，即T服从自由度为n的t-分布2若Tt(n)，则T的密度函数为：为一偶函数可以证明即t-分布的近似分布为标准正态分布3可查表求其值如图对01，Tt(n)若取=0.05，n=8查表F-分布若，且X，Y相互独立，则1n1，n2分别是第一、第二自由度23可查表求其值，如图对01如=0.
4、05，n1=8，n2=17查表及七个常用的抽样分布定理设，X1、X2Xn是样本，样本均值和样本方差分别为由，由正态随机变量的线性组仍服从正态分布可用于总体方差2已知，对总体的均值作区间估计和假设检验（称之为统计推断）由则有可用于对总体方差2作统计推断由又由 又且与S2相互独立则可用于总体方差2未知，用样本方差S2代替2对总体均值作统计推断又设X，Y相互独立，X1、X2Xn1，Y1、Y2Yn2分别取自于X，Y的样本由则可用于两个独立正态总体方差、已知，对总体均值差作统计推断若、未知，但则由且则其中、分别是X、Y的样本均值和样本方差可用于两个独立正态分布，方差未知但相等，对总体均值差作统计推断由可
5、用于两个独立正态总体对方差比作统计推断例1：设XN(0,4)，X1、X2、X3、X4是样本，若2 a(X12X2)2b(3X34X4)22(2)，求a，b解：即或同理例2：，为样本，求的分布解：（1），（2）又，且与相互独立（3）例3：，求的分布解： （1） ，则其中，（2），、独立（3）例4：设总体，、是样本容量为2n的一个简单随机样本，求E(Y)解：构造一个样本列：(X1, Xn+1)，(X2, Xn+2)，(Xn, X2n)是取自于N(2, 22)的容量为n的一个样本其样本均值为样本方差则有：第三章 参数估计参数估计是统计推断中最基本也是最重要的问题之一，在许多实际问题中，利用总体的样本
6、对已知总体分布的未知参数作出估计的问题称为参数估计。一般主要有两类估计，一类是点估计，另一类是参数的区间估计。1参数的点估计法：矩估计法，设总体已知，参数未知，是的一个简单随机样本。由辛钦大数定理，统计量样本k阶矩依概率1收敛于，若仅有一个未知参数，求并令，解出即为的矩估计量；若有二个未知参数，则求并令及并令，解方程组得及即为的矩估计量。极大或最大似然估计法，设总体已知，参数未知，是的一个简单随机样本。由样本的独立性及与总体同分布，联合密度函数等于边缘密度函数的乘积，则有：称为的样本似然函数将的样本似然函数取对数，并对求导或偏导令其为零，得驻点：即为的矩估计量；或得及即为的矩估计量。无偏估计，
7、若，则称是的一个无偏估计。例1、设总体的分布函数为 其中，（1），求的矩估计量及最大似然估计量，（2），求的最大似然估计量。解：（1），则，令，得为的矩估计量。又当时，得为的最大似然估计量。（2）当时当时。没有驻点，取为的最大似然估计量。例2、设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.解析：（1），令,得到矩估计。（2）得到最大似然估计：。例3、设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中未知参数，记（1）求的概率密度；（2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量.（3）证明该估计量为的无偏估计量.解：（1）因与
8、相互独立，所以服从正态分布，()=0,()=（）+（）=3,故得的概率密度为=（2）设为样本的观测值，则似然函数为=，=，令：，解得：故的最大似然估计量为（3），所以是的无偏估计。例4、设总体的密度函数为为未知参数，为简单随机样本,求（1）的分布函数.（2）的矩估计量和极大似然估计量.（3） 讨论估计量的无偏性解： （1）令，则为的矩估计量；为的极大似然估计量（3）极大似然估计量不是的一个无偏估计量例5、设总体，为简单随机样本， 求(1) .（2）().(3)若是的无偏估计量，求.解：例6、设总体的密度函数为为未知参数，为简单随机样本，求（1）的矩估计量和极大似然估计量.（2） 讨论估计量的无偏性.（1）令，则：，为的矩估计量又的联合概率密度为则的极大似然估计量为（2）由对的矩估计量，不是无偏估计量。对的极大似然估计量，是无偏估计量。
